: Всякая монотонная числовая последовательность имеет предел. Ее предел конечен, если последовательность ограничена. В ином случае предел равен бесконечности. Число е. x(n)=(1+1/n)^n – введение числа е связано с рассмотрением последовательности с этим общим членом. Докажем, что последовательность сходится и предел равен е. Лемма Бернулли: Для любого натурального n и любого действительного a≥-1 имеем: (1+a)^n≥1+an. Воспользуемся теоремой о монотонной числовой последовательности. Для этого докажем, что x(n)- монотонная. Рассмотрим вспомогательную последовательность y(n) y=x(n)(1+1/n) Их пределы равны. Покажем, что y(n) невозрастающая. Y(n-1)/y(n)=(1+1/n-1)^n/(1+1/n)^n+1=1 => Y(n-1)/Y(n)≥1 – последовательность невозрастающая. Так же она ограничена снизу Y(n)≥1+1/n(n+1)=2+1/n Y(n)>2.
