Первая теорема Вейерштрасса

: Если f(x) непрерывна на промежутке А B, то она ограничена на этом промежутке. Док-во: Предположим, что функция не ограничена на этом промежутке, тогда для любой n на промежутке a,b найдется f(xn)≥n n->inf. По лемме Больцана-Вейерштрасса из последовательности можно извлечь частичную последовательность, которая сходилась бы к конечному пределу (xn)->x0 x0 из a,b т.к. функция непрерывна, то f(xn)->f(x0), А это невозможно т.к. f(xn)->inf, Получим противоречие.