Пусть имеется система, например, четырех сходящихся сил (все с векторами F1, F2, F3, F4) действующих на НМС (МТ)
На основании следствия из аксиомы 2 перенесем силы вдоль линии их действия в точку пересечения этих линий, и последовательно сложив все силы по правилу треугольника, получим силовой многоугольник
R' |F1 F2 F3 F4| R=F1+F2.....
R-= сумма от n до v=1 F- v
Система сходящихся сил всегда приводится к одной силе – равнодействующей этой системы сил, которая является замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на этих силах, и равна геометрической сумме этих сил.
Для пространственной системы сходящихся сил силовой многоугольник является пространственной фигурой, для плоской - плоской фигурой.
2.1.2. Алгебраическая форма
Выбрав декартовую систему координат с началом в точке пересечения линий действия сил и спроектировав соотношение (2.1) на ее оси, получим проекции равнодействующей пространственной системы сходящихся сил на эти оси:
Rx-= сумма от n до v=1 F- vx
Ry-= сумма от n до v=1 F- vy
Rz-= сумма от n до v=1 F- vz
Модуль равнодействующей определяется соотношением:
R= под корнем Rx^2+ Ry^2 + Rz^2= под корнем (сумма от n до v=1 F- vx)^2 и тд
Направление равнодействующей определяется направляющими косинусами:
Для плоской системы сходящихся сил в соотношениях (2.2)–(2.4) , если плоская система сил находится в плоскости xОy.
{2.2. Условия равновесия системы сходящихся сил
2.2.1. Векторная (геометрическая) форма}
Для равновесия системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут или, другими словами, ее равнодействующая была равна нулю:
. (2.5)
2.2.2. Алгебраическая форма
Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на оси декартовой системы координат были равны нулю:
(2.6)
В случае плоской системы сходящихся сил, находящейся в плоскости хОу, условий равновесия будет два:
(2.7)
{2.2.3. Теорема о трех уравновешенных силах}
При решении задач полезно иметь в виду следующую теорему о трех силах.
Теорема: Если плоская система трех непараллельных сил находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Доказательство: Пусть имеется система трех сил (), отвечающая условиям теоремы. На основании следствия из аксиомы 2 силы и переносятся вдоль линий действия в точку их пересечения, а на основании аксиомы 3 они заменяются равнодействующей (рис. 14):
.
На основании аксиомы 1 вектора и лежат на одной прямой, т.е. линии действия силы должна проходить через точку О.
Рис. 14.
{Глава 3. Системы двух параллельных сил
3.1. Система двух параллельных и направленных в одну сторону сил}
Система двух параллельных и направленных в одну сторону сил (рис. 15)
Рис. 15
может быть сведена к сходящейся системе сил путем добавления (аксиома 2) уравновешенной системы сил следующим образом (рис. 16):
'
Рис. 16
Эти же преобразования можно записать в следующем виде:
В результате преобразования силы и приложены в точке О' и направлены по одной прямой, следовательно,
. (3.1)
Положение точки О определяется c помощью пропорций, полученных из подобия треугольников , (по признаку равенства углов).
Тогда
или и .
Разделив первое соотношение на второе и учитывая, что , получим:
. (3.2)
Таким образом, система двух параллельных и направленных в одну сторону сил приводится к равнодействующей (рис.17), которая равна по модулю сумме модулей этих сил (3.1), параллельна этим силам, направлена в ту же сторону, а ее линия действия проходит через точку, которая делит внутренним образом расстояние между линиями действия сил на части, обратно пропорциональные модулям сил (3.2).
Рис. 17
Используя соотношения (3.1) и (3.2), можно решить также обратную задачу: разложить силу на две, направленные в ту же сторону, параллельные силы. Обратная задача в отличие от прямой имеет бесконечное множество решений.
{3.2. Система двух параллельных, не равных
по модулю и направленных в противоположные
стороны сил}
Система двух параллельных, не равных по модулю и направленных в противоположные стороны сил, приводится к равнодействующей следующим образом (рис. 18).
Рис. 18
Используя предыдущий случай, разложим большую силу на две параллельные составляющие и :
(3.3)
так чтобы сила была приложена в точке О2 и по величине силы и были бы равны (рис. 19):
Рис. 19
На основании соотношения (3.1) можно записать
, (3.4)
и тогда .
Эти же преобразования можно записать в следующем виде:
Таким образом, из (3.4) с учетом, что , получим:
, (3.5)
На основании формулы (3.2) запишем:
, откуда
. (3.6)
Рис. 20
Таким образом, система двух параллельных, не равных по модулю и направленных в противоположные стороны сил, приводится к равнодействующей (рис. 20), которая равна по модулю разности модулей сил (3.5), параллельна этим силам, направлена в сторону большей из них, а ее линия действия проходит через точку, которая делит внешним образом расстояние между линиями действия сил на части, обратно пропорциональные модулям сил (3.6).
Используя соотношения (3.5) и (3.6), можно решить также обратную задачу: разложить силы на две, направленные в разные стороны параллельные силы. Обратная задача в отличие от прямой имеет бесконечное множество решений.
3.3. Пара сил
{3.3.1. Понятие пары сил}
Определение: Парой сил называется система двух равных по величине, параллельных и направленных в противоположные стороны сил (рис.21).
Плоскость, проведенная через линии действия сил пары, образует плоскость действия пары.
Рис. 21
Так как для пары сил , то из (3.5) следует, что R=0. Однако система сил пары не будет уравновешенной, так как не выполняются условия аксиомы 1.
Изучение действия пары сил не может быть сведено к изучению действия одной силы. Поэтому пара является новым самостоятельным элементом статики, таким же основополагающим, как понятие "сила".
{3.3.2. Момент пары}
Определим момент пары как сумму моментов сил пары относительно произвольной точки О (рис. 22):
. (3.7)
Рис. 22
На основании соотношения (3.7) можно сделать вывод, что сумма моментов сил пары относительно произвольной точки О, не зависит от положения этой точки.
Определение: Моментом пары сил называется вектор равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары, называемое плечом, направленный перпендикулярно плоскости пары в ту сторону откуда пара видна стремящейся осуществить поворот плоскости ее действия против хода часовой стрелки (рис. 22).
. (3.8)
Используя соотношение (3.7), можно записать следующие формулы:
. (3.9)
Определение: Эквивалентными парами сил называются такие пары, при замене одной из которых на другую не изменится состояние свободной НМС.
Эквивалентные пары имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.
{3.4. Теоремы об эквивалентности пар}
Теорема 1: Действие пары сил на НМС не изменится, если пару перенести и повернуть в плоскости ее действия.
Доказательство: Пусть имеется пара сил с плечом h.
Рис. 23
Добавим уравновешенную систему четырех сил (рис. 23), численно равных модулям сил пары, направленных так, чтобы линии действия сил , и были параллельны и расстояние между этими линиями действия сил равнялось h (рис. 23).
Учтя, что параллелограммы, построенные на силах и , и будут ромбами и, следовательно, , получим:
что и требовалось доказать.
Теорема 2: Действие пары сил на НМС не изменится, если пару перенести в плоскость, параллельную плоскости пары.
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1 с тем различием, что добавляется уравновешенная система четырех сил в плоскости, параллельной плоскости пары.
На основании первых двух теорем можно сделать вывод:
Момент пары сил – вектор свободный.
Теорема 3: Действие пары сил на НМС не изменится, если изменить модуль силы пары и ее плечо, сохранив неизменным момент пары (без доказательства).
{3.5. Приведение систем пар сил
к равнодействующей паре
3.5.1. Cложение пар сил,}
лежащих в пересекающихся плоскостях
Пусть имеется система лежащих в пересекающихся плоскостях n пар, с моментами:
, .
Моменты пар являются свободными векторами, следовательно, их можно переносить параллельно самим себе в одну точку приложения и сложить геометрически:
, (3.10)
где – момент равнодействующей пары.
Справедливость формулы (3.10) можно доказать, используя три теоремы об эквивалентности пар, перенося пары в их плоскостях в параллельные плоскости и взяв общим плечом пар плечо на прямой, по которой пересекаются плоскости пар, сохраняя момент пары.
3.5.2. Сложение пар сил,
лежащих в параллельных плоскостях
Так как моменты пар сил, лежащих в параллельных плоскостях перпендикулярны этим плоскостям, т. е. параллельны друг другу и являются векторами свободными, то момент результирующей пары направлен перпендикулярно плоскостям пар и его величина определяется алгебраическим сложением величин моментов этих пар сил:
. (3.11)
3.6. Условия равновесия систем пар сил
Условия равновесия системы пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях, может быть получена из (3.10):
. (3.12)
Условие равновесия систем пар, лежащих в параллельных плоскостях имеет вид:
. (3.13)
Глава 4. Приведение пространственной
и плоской систем сил
{4.1. Основная теорема статики или теорема
о параллельном переносе силы}
Теорема: Силу, приложенную в некоторой точке НМС, не изменяя ее действия на НМС, можно переносить параллельно самой себе в любую другую точку НМС, добавляя при этом пару сил (присоединенная пара) с моментом, равным моменту силы относительно новой точки ее приложения (рис. 24).
Доказательство: Сила приложена в точке О1. Добавив уравновешенную систему двух сил, приложенных в произвольной точке О2, равных по модулю и параллельных силе , получим:
,
, (4.1)
,
. (4.2)
Рис. 24
{4.2. Приведение систем сил к центру}
4.2.1. Пространственная система сил
Пусть имеется произвольная пространственная система сил . Используя основную теорему статики, перенесем все силы системы параллельно самим себе в произвольный центр О (рис. 25):
В результате получим:
система сходящихся система пар
сил в точке О
Рис. 25
Система сходящихся сил (глава 2) приводится к одной силе:
,
где на основании соотношения (2.1) можно записать:
. (4.3)
Система пар (глава 3) приводится к одной паре:
момент которой на основании соотношений (3.10), (4.2) и (1.2) определится формулой:
. (4.4)
Итак,
(4.5)
или условно можно записать:
. (4.6)
Таким образом, произвольная система сил всегда может быть приведена в произвольно выбранной точке – центре приведения к силе, равной геометрической сумме всех сил и называемой ее главным вектором, и к паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения и называемым ее главным моментом.
4.2.2. Плоская система сил
Пусть имеется плоская система сил . Взяв в качестве центра приведения произвольную точку на плоскости действия сил, можно сделать следующие выводы, учтя, что все моменты сил, лежащих в одной плоскости, относительно точки плоскости перпендикулярны этой плоскости:
Главный вектор плоской системы сил всегда лежит в плоскости действия сил (рис. 26).
Главный момент равен по величине алгебраической сумме величин моментов сил относительно центра приведения и перпендикулярен плоскости действия сил (рис. 26).
Рис. 26
, (4.7) . (4.8)
, (здесь ) (4.9)
.
{4.3. Формулы для нахождения главного вектора
и главного момента}
4.3.1. Пространственная система сил
Проектируя соотношение (4.3) на оси декартовой системы координат с началом в центре приведения, получим проекции главного вектора пространственной системы сил на эти оси:
(4.10)
Модуль главного вектора и его направляющие косинусы определяются по известным формулам векторного анализа:
, (4.11)
(4.12)
Проектируя соотношение (4.4) на оси декартовой системы координат с учетом связи между моментом силы относительно точки и оси, получим проекции главного момента пространственной системы сил на эти оси:
(4.13)
где – моменты силы относительно осей декартовой системы координат.
Модуль главного момента и его направляющие косинусы определяются по известным формулам векторного анализа:
. (4.14)
(4.15)
4.3.2. Плоская система сил
В соотношениях (4.10) - (4.12) в случае плоской системы сил (пусть это будет плоскость xOy) , а вместо соотношений (4.13) используется соотношение (4.8).
{4.4. Теорема о зависимости главного момента
от центра приведения}
4.4.1. Пространственная система сил
Теорема: Главный вектор не зависит от выбора центра приведения, а главный момент пространственной системы сил изменяется на момент главного вектора, приложенного в старом центре приведения, относительно нового центра приведения (рис. 27).
Доказательство: Приведем систему сил к центру О, а затем к центру О1:
,
(4.5) (4.6)
.
(4.5) (4.6)
Очевидно, что
. (4.16)
Рис. 27
Так как , то формула для примет вид:
Учитывая, что на основании формул (4.3) и (4.4)
,
можно записать для :
. (4.17)
4.4.2. Плоская система сил
Для плоской системы сил вектор лежит в плоскости действия сил, а векторы , и перпендикулярны этой плоскости (рис. 28) при условии, что точки О и О1 лежат в плоскости действия сил.
Рис. 28
Соотношение (4.17) для плоской системы сил примет вид:
. (4.18)
{4.5. Инварианты статики}
Определение: Инвариантами в статике называются такие параметры рассматриваемой системы сил, которые не изменяются при переносе центра приведения.
4.5.1. Пространственная система сил
Из соотношения (4.16) следует, что главный вектор системы сил является первым инвариантом статики:
. (4.19)
Скалярное произведение главного момента на главный вектор есть второй инвариант статики. Но это утверждение необходимо доказать:
.
(4.17)
Второе слагаемое правой части этого выражения равно нулю (свойства смешанного произведения), следовательно:
. (4.20)
Если воспользоваться определением скалярного произведения, то для второго инварианта можно получить еще одну форму:
.
Так как , то предыдущее выражение примет вид:
. (4.21)
Таким образом, проекция главного момента на направление главного вектора есть величина постоянная для данной системы сил и не зависит от выбора центра приведения.
4.5.2. Плоская система сил
Первый инвариант плоской системы сил – главный вектор лежит в плоскости действия сил. Второй инвариант (скалярное произведение главного момента на главный вектор) равен нулю для любой точки приведения, лежащей в плоскости действия сил, поскольку главный момент перпендикулярен плоскости действия сил и, следовательно, перпендикулярен главному вектору:
4.6. Приведение произвольной системы сил
к простейшим системам
4.6.1. Приведение системы сил к равнодействующей
.
а) Если при приведении системы сил к центру О то на основании (6.4) можно записать
. (4.22)
В этом случае система сил приводится к равнодействующей, приложенной в центре приведения и совпадающей по величине и направлению с главным вектором.
б) Если при приведении системы сил к центру О
(рис. 29), то представив в виде пары сил с плечом
, (4.23)
получим:
.
Рис. 29
. (4.24)
В этом случае система сил приводится к
равнодействующей, совпадающей по величине и направлению с главным вектором, а линия действия равнодействующей отстоит от линии действия главного вектора на расстояние ОО1, определяемое соотношением (4.23) (момент равнодействующей относительно центра приведения совпадает с главным моментом).
4.6.2. Приведение системы сил к паре сил
Если при приведении системы сил к центру О то на основании (6.4) можно записать
(4.25)
В этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным главному моменту и , так как, вследствие того, что , в соотношении (4.17) .
4.6.3. Приведение системы сил в случае, когда
Если при приведении системы сил к центру О то на основании (6.4) можно записать
, (4.26)
т.е. система сил находится в равновесии.
Этот вопрос подробно рассматривается в главе 5.
4.6.4. Приведение системы сил к динаме
Определение: Система, состоящая из силы и пары сил, момент которой коллинеарен силе (плоскость пары перпендикулярна линии действия силы), называется динамой или динамическим винтом (рис. 30) .
Рис. 30
Если при приведении системы сил к центру О второй инвариант не равен нулю, то эта система сил приводится к динаме (рис. 31).
Разложив на две составляющие - вдоль главного вектора и - перпендикулярно главному вектору, для и будем иметь случай 4.6.1б. Вектор , будучи свободным вектором, переносится параллельно самому себе в точку О1):
Вектора представляют собой динаму,
где , .
В рассматриваемом случае приведения системы сил главный момент имеет минимальное значение. Причем это значение момента сохраняется при приведении заданной системы сил к любой точке, лежащей на линии действия главного вектора и главного момента (рис. 31). Уравнение этой линии, называемой центральной (осью динамы), определяется из условия коллинеарности векторов и :
. (4.27)
Рис. 31
В соответствии с соотношениями (4.16) и (4.17)
,
,
тогда уравнение центральной оси динамы в векторной форме можно записать так:
.
Проектируя это соотношение на оси декартовой системы координат с началом в центре приведения О, получим:
. (4.28)
Здесь x, y, z – координаты точек, лежащих на центральной оси, а р – постоянная линейная величина, называемая параметром динамы.
{Глава 5. Условия равновесия систем сил
- Пространственная система сил
5.1.1. Геометрическая форма}
Для равновесия произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы сил при приведении к любому центру были равны нулю:
(5.1)
Доказательство необходимости условий (5.1):
Пусть произвольная система сил находится в равновесии, т. е. () ' 0. Приведя эту систему сил к центру О, получим:
.
Так как сила – главный вектор и пара сил, момент которой равен главному моменту друг друга уравновесить не могут, то необходимо, чтобы , что и требовалось доказать.
Доказательство достаточности условий (5.1):
Пусть . Предположим (метод от противного), что система сил (), не находится в равновесии, тогда, приведя эту систему сил к любому другому центру О1, получим:
,
т. е. система сил приводится к паре с моментом: .
Таким образом, для любого центра приведения главный вектор и главный момент равны нулю, следовательно () ' 0 и наше предположение было неверно, т. е. система сил (), находится в равновесии.
5.1.2. Алгебраическая форма
Спроектировав соотношение (5.1) на оси декартовой системы координат с началом в центре приведения О и учтя связь моментов силы относительно точки и оси, получим следующие условия равновесия произвольной пространственной системы сил:
(5.2)
Для равновесия произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси декартовой системы координат и суммы моментов всех сил относительно осей декартовой системы координат равнялись нулю.
Для равновесия пространственной системы параллельных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма величин этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению линий действия сил, также были равны нулю:
(5.3)
{5.2. Плоская система сил}
5.2.1. Первая форма
В случае плоской системы сил, находящейся в плоскости хОу соотношения (5.2) и (5.3) примут вид:
(5.4)
Для равновесия плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси x, y, лежащие в плоскости действия сил и алгебраическая сумма величин моментов всех сил относительно любой точки плоскости равнялись нулю.
Для равновесия плоской системы параллельных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы величин этих сил и величин моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил равнялись нулю:
(5.5)
Необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы сил можно выразить еще в двух других формах.
5.2.2. Вторая форма
Для равновесия плоской системы сил, необходимо и достаточно чтобы алгебраические суммы величин моментов этих сил относительно трех точек, лежащих в плоскости действия сил и не расположенных на одной прямой, равнялись нулю:
(5.6)
Эта форма равновесия плоской системы сил также называется теоремой о трех моментах.
Доказательство необходимости условий (5.6):
Пусть плоская система сил, находится в равновесии: ()'0. Из необходимости третьего уравнения (5.4) следует необходимость условий (5.6).
Доказательство достаточности условий (5.6):
Пусть выполняются условия (5.6). Предположим (метод от противного), что плоская система сил (), не находится в равновесии. Приведем эту систему сил к центру В, тогда
.
Если = 0, то система сил находится в равновесии. Предположим, что ¹0, т. е. что система сил не находится в равновесии. Применив дважды теорему Вариньона для точек D и E, получим:
Из этих соотношений следует, что линия действия равнодействующей , приложенной в точке B проходит также через точки D и E, чего быть не может, так как точки B, D и E не расположены на одной прямой. Следовательно, наше предположение неверно и плоская система сил () находится в равновесии.
5.2.3. Третья форма
5.2.2. Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы величин моментов этих сил относительно двух произвольно расположенных точек на плоскости действия сил равнялись нулю и сумма проекций всех сил на прямую, лежащую в этой плоскости и не перпендикулярную прямой, проходящую через эти две точки, также равнялась нулю:
(5.7)
Доказательство необходимости условий (5.7):
Пусть плоская система сил находится в равновесии: ()'0. Из необходимости условий (5.4) следует необходимость условий (5.7).
Доказательство достаточности условий (5.7):
Пусть выполняются условия (5.7). Предположим (метод от противного), что плоская система сил () не находится в равновесии. Приведем эту систему сил к центру В, тогда
.
Если = 0, то система сил находится в равновесии. Предположим, что ¹ 0, т. е. что система сил не находится в равновесии. Применив теорему Вариньона для точки D, получим:
Из этого соотношения следует, что линия действия равнодействующей , приложенной в точке B, проходит также через точку D. Из третьего уравнения соотношений (5.7) следует, что . Таким образом, мы получили, что проекция равнодействующей , линия действия которой проходит через точку D, на прямую, не перпендикулярную прямой, проходящей через точки B и D, равняется нулю, чего быть не может. Следовательно, наше предположение неверно и плоская система силнаходится в равновесии.
