К линейным операциям над векторами относятся операции умножения вектора на число и сложение векторов.

Определение 5.  Под произведением вектора    на число   понимается вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;
2.  вектор  коллинеарен вектору  ( );
3.  векторы  и  направлены одинаково, если  и противоположно, если  .

Произведение вектора  на число  обозначается  .

Замечание 1.  Пусть , рассмотрим вектор , тогда . Векторы  и  коллинеарные и одинаково направлены, тогда -единичный вектор, сонаправленный с . Вектор  - орт вектора  , и обозначается   ⁰,  т.е.   и    или .

Замечание 2. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора  существует и притом одно число , удовлетворяющее равенству .  Тогда    и  , если  и  одинаково направлены и  , если они противоположно направлены.

Определение 6. Суммой двух векторов  и , приведенных к общему началу,  является диагональ параллелограмма (  см. рис. 1), построенного на этих векторах  как на сторонах (правило параллелограмма). Правило треугольника:

начало следующего вектора поместить в конец предыдущего и вектор, соединяющий начало первого с концом последнего есть вектор суммы (см. рис. 2).

Чтобы сложить несколько векторов, достаточно начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего, тогда замыкающий вектор, идущий из начала первого в конец последнего, будет вектором суммы (правило многоугольника см. рис. 3).  

Если точка   совпадает с точкой  , то сумма векторов равна нулю.

Определение 7. Вектором, противоположным к данному вектору , называется вектор   , модуль которого равен модулю вектора , а направление противоположно (см. рис. 4).

Определение 8. Под разностью двух векторов  и  понимается такой третий вектор , который при сложении с вычитаемым вектором  дает уменьшаемый вектор  .

Правило построения разности векторов  и :

Приводим векторы   и  к общему началу, и соединяем концы векторов   и . Вектор разности направлен из конца вычитаемого вектора ( ) в конец уменьшаемого вектора (  см. рис. 5).

Свойства линейных операций над векторами.

1. Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых векторов  и  выполнено .
2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов ,  и   выполнено  .
3. Прибавление нулевого вектора  к любому вектору ,  не меняет последнего: .
4. Для любого вектора  вектор  является противоположным, т.е. .
5. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для любых чисел  и  и любого вектора , выполнено .
6. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел: .
7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов: .
8. Умножение вектора на единицу не меняет вектора: .

3. Понятие линейной зависимости векторов.

Определение 9. Пусть дана система векторов ₁, ₂, …, _n и совокупность  вещественных чисел . Тогда выражение вида    называется линейной комбинацией векторов, а числа    называются коэффициентами линейной комбинации. Если некоторый вектор  представлен как линейная комбинация векторов  , т.е. в виде: , то говорят, что вектор  разложен по этим векторам.

Определение 10. Векторы , , …,  называются линейно зависимыми, если существует набор коэффициентов , одновременно не равных нулю  и таких, что

.

Определение 11. Векторы  называются линейно независимыми, если равенство нулю линейной комбинации этих векторов возможно лишь при всех коэффициентах одновременно равных нулю.

Определение 12. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 13. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Определение 14. Базисом в пространстве  называются три линейно независимые вектора в этом пространстве, взятые в определенном порядке.

Теорема 1  (о разложении вектора по базису в пространстве R³)

Пусть даны три некомпланарные вектора: . Любой вектор  раскладывается по ним. Такое разложение единственно. Существует набор чисел     такой, что:

_.

Свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов:

1. Если хотя бы один из  векторов есть нуль вектор, то все  векторов  линейно зависимы.
2. Если среди  векторов какие-либо  векторов линейно зависимы, то все  векторов линейно зависимы.
3.  Для того чтобы два ненулевых вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.
4. Пусть  - два неколлинеарных вектора плоскости. Любой компланарный с ними вектор  раскладывается по ним: . Такое разложение единственно.
5. Три компланарных вектора линейно зависимы. Три некомпланарных вектора пространства линейно независимы.
6. Любые четыре вектора пространства  линейно зависимы.
7. Система векторов ₁, ₂, …, _n линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных.