Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро­магнитные и др.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).. Гармонические колеба­ния величины s описываются уравнением типа

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, w0 — круговая (циклическая) частота, j — начальная фаза колебания в мо­мент времени t=0, (w0t+j) — фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повто­ряются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2p, т. е.

откуда

Величина, обратная периоду колебаний,

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (140.2) и (140.3), получим

Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, при кото­рой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющей­ся величины s:

                                              (140.4)

                                              (140.5)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (140.4) и (140.5) соответственно равны Аw0 и Аw^2. Фаза величины (140.4) отличается от фазы величины (140.1) на пи/2, а фаза величины (140.5) отличается от фазы величины (140.1) на пи. Следовательно, в моменты времени, когда s=0, ds/dt приобрета­ет наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значе­ния, то d2s/dt2 приобретает наибольшее положительное значение (рис. 198).

Из выражения (140.5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

                                                        (140.6)

(где s = A cos (w0t+j)). Решением этого уравнения является выражение (140.1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося век­тора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точ­ки О, выбранной на оси х, под углом j, равным начальной фазе колебания, откладыва­ется вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 199). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s=A cos (w0t+j). Таким образом, гармоническое колебание мож­но представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амп­литуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w0 вокруг этой точки.