Теорема Кронеккера–Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, 
.
Алгоритм отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из теоремы Кронеккера–Капелли и следующих теорем.
Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:
(
), то система несовместна (не имеет решений). Если ранги равны 
(
, то система совместна.
которого определяет ранг матрицы (такой минор называют базисным). Составим новую систему из уравнений, в которых коэффициенты при неизвестных, входят в базисный минор (эти неизвестные называют главными неизвестными), остальные уравнения отбросим. Главные неизвестные с коэффициентами оставим слева, а остальные 
неизвестных (их называют свободными неизвестными) перенесем в правую часть уравнений.- Найдем выражения главных неизвестных через свободные. Получаем общее решение системы
- Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом находим частные решения исходной системы уравнений
