|
1) Перед игроком P1 стоит задача выбора чистой стратегии, в результате применения которой он получит максимально возможный гарантированный выигрыш. Если игрок P1 выбрал стратегию матрицы, в зависимости от выбранной стратегии игроком P2. Предполагая поведение игрока P1 крайне осмысленным, необходимо считать, что игрок P2 сыграет наилучшим для себя образом и на выбор игроком P1 стратегии Xi выберет ту стратегию Yj, при которой выигрыш игрока P1 окажется минимальным. Обозначим минимальный среди выигрышей через αi:
Продолжая действовать разумно, игрок P1 должен выбрать ту стратегию, которая максимизирует показатель эффективности, т.е. для которой число αi максимально. Обозначим: Число α называется нижней ценой игры в чистых стратегиях, а стратегия Xi0, которая максимизирует показатель эффективности αi называется максиминной стратегией игрока P1. Таким образом, если игрок P1 в игре будет следовать максиминной стратегии, то ему при любой игре противника P2 гарантирован выигрыш в чистых стратегиях, не меньший α. 2) Рассмотрим игру с точки зрения игрока P2, который стремиться минимизировать выигрыш игрока P1. Если P2 выберет стратегию
Таким образом, для любой стратегии Yj игрока P2 наибольший его проигрыш равен βj. В интересах игрока P2 выбрать стратегию с минимальным показателем неэффективности. Наименьшее из чисел βj обозначим β:
Число β называется верхней ценой игры в чистых стратегиях, а стратегия Yj0, которая максимизирует показатель неэффективности βj называется минимаксной стратегией игрока P2. Теорема 3. Для элементов платежной матрицы имеют место неравенства:
Пример. Найти решение игры, заданной платежной матрицей.
Решение: Решим игру. Пусть Рассмотрим матрицу min
max 6 7 4 10 min (6,7,5,10)=5=
Если A= Теорема 4. (о разрешимости матричной игры в чистых стратегиях) Если платежная матрица A имеет седловой элемент Пример. Найти решение игры, заданной платежной матрицей A= Решение: Решим игру. Пусть Рассмотрим матрицу min
max 2 3
оптимальная стратегия первого игрока: оптимальная стратегия второго игрока: Ответ: оптимальные стратегии игроков |
, то его выигрышем может быть один из выигрышей 
, расположенный в i-ой строке платежной
, (αi –показатель эффективности стратегии Xi).
, то выигрышем игрока P1 может быть один из выигрышей 
. Но так как игрок P2 предполагает, что игрок P1 играет наилучшим для себя образом, то выигрышем игрока P1 будет максимальное из этих чисел, обозначим βj:
(βj –показатель неэффективности стратегии Yj).
и, следовательно, нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях: 
.
– оптимальная стратегия первого игрока, 
– оптимальная стратегия второго игрока, v – цена игры.
max(-1,-2,4)=4= 
- нижняя цена игры.
- верхняя цена игры.
- максиминная стратегия, 
- минимаксная стратегия
то элемент 
называется седловым элементом матрицы
v= 
, тогда решение в чистых стратегиях имеет вид:
; 
, цена игры v =2 .
