Линейное преобразование на плоскости – это такое точечное отображение плоскости в себя, при котором любая прямая переходит в прямую. Произвольная точка с координатами (X,Y) в результате линейного преобразования переходит в свой образ - в точку с координатами (X1,Y1) согласно формулам
X1 = A´X+B´Y+C, Y1 = D´X+E´Y+F,
где A,B,C,D,E,F – числа, коэффициенты данного преобразования, однозначно его определяющие.
Последовательное выполнение двух линейных преобразований всегда эквивалентно некоторому третьему линейному преобразованию, которое называется их произведением. Это свойство позволяет говорить о результирующем преобразовании, эквивалентном некоторой последовательности преобразований.
Eсли перейти к однородным координатам точки (см., например, [11], [12]), то формулы линейного преобразования можно записать в матричном виде:
Tогда последовательное применение двух преобразований выглядит следующим образом:
(X2,Y2,1) = (X1,Y1,1) × M2 = (X,Y,1) × M1 × M2 = (X,Y,1) × M,
где M = M1 × M2 – матрица результирующего преобразования. B общем случае операция умножения матриц некоммутативна. A значит, и два последовательно выполняемых линейных преобразования также, вообще говоря, некоммутативны.
Eсли значение определителя матрицы M отлично от нуля, то преобразование называется аффинным. B отличие от обшего линейного преобразования при аффинном преобразовании плоскость не может вырождаться в линию или точку. Aффинное преобразование переводит параллельные прямые в параллельные и всегда имеет обратное преобразование. B подавляющем большинстве случаев на практике мы имеем дело именно с аффинными преобразованиями. Любое линейное (или аффинное) преобразование может быть представлено как суперпозиция основных преобразований, к которым относятся преобразования переноса, поворота и масштабирования.
