Зададим две плоскости
Мы знаем, что векторы 
и 
перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол 
между 
и 
равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение
,
поэтому
. (15)
Достаточно считать, что 
.
Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла 
и 
Их сумма равна 
, а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками (
). Если заменить в первом уравнении (14) числа 
, 
, 
соответственно на числа 
, 
, 
, то полученное уравнение будет определять ту же плоскость, но угол в (15) заменится на 
.
Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда
, т. е.
. (16)
Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы и коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности
. (17)
Если дополнительно к этому выполняются расширенные условия пропорциональности
, (18)
то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т.е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость. Хотя на нуль делить нельзя, но удобно писать символические пропорции (17) или (18) с нулями. Но тогда, если, например, 
, то надо и 
. Или если 
, то 
.
