План
2.1. Работа. Мощность энергии.
2.2. Механическая энергия.
2.3. Применение законов энергии. Условие механического равновесия.
2.1. Работа. Мощность энергии
Если тело переместилось по траектории на расстояние 
под действием силы 
(рис. 2.1), то сила совершила элементарную работу
Рис. 2.1. К вычислению работы
, (2.1)
где 
– угол между направлением силы и перемещением; 
– проекция силы на направление перемещения.
Если 
, то 
, т. е. работа не совершается.
Рис. 2.2. Направление силы тяжести
Рис. 2.3 Графическое представление работы
Например, при движении спутника по круговой орбите центростремительная сила всегда направлена перпендикулярно траектории, и работа не производится (рис. 2.2). Для вычисления работы на конечном участке траектории 
следует разбить путь на такие бесконечно малые отрезки 
, чтобы в пределах этого отрезка сила была постоянной. Затем следует вычислить работу на каждом отрезке и просуммировать
.
На графике зависимости от 
работа будет изображаться заштрихованной площадью (рис. 2.3).
При движении тела в однородном поле 
и тогда
.
Одна и та же работа может быть выполнена за различное время.
Мощность численно равна работе, выполненной за единицу времени
. (2.2)
Если сила постоянна, то мощность
.
В международной системе работа измеряется в джоулях (Дж), мощность – ваттах (Вт).
Для вращательного движения работа
,
где 
– угловой путь.
Мощность при вращательном движении
,
где 
– угловая скорость.
2.2. Механическая энергия
Полная механическая энергия тела W складывается из кинетической энергии 
и потенциальной 
:
. (2.3)
Кинетическая энергия – это энергия движущегося тела. Для ее вычисления достаточно знать массу тела 
и его скорость 
. (2.4)
В случае вращательного движения 
.
Потенциальная энергия – это энергия неподвижного тела, на которое действуют силы. Например, тело массой , находящееся на высоте 
над поверхностью Земли, обладает потенциальной энергией 
. Для того чтобы изменить кинетическую или потенциальную энергию, нужно совершить работу. Энергия численно равна работе, которую может совершить тело.
Потенциальная энергия упруго сжатой пружины
, (2.5)
где 
– коэффициент упругости пружины; 
– сжатие пружины.
Вместо того чтобы говорить о действии одного тела на другое, можно сказать, что одно тело создает в пространстве вокруг себя силовое поле, которое действует на другое тело.
Рис. 2.4. Гравитационное поле
Так, Земля создает вокруг себя гравитационное поле, которое воздействует на космический корабль (рис. 2.4). Если корабль массой m находится в точке 1, то на него действует сила
,
где 
– гравитационная постоянная; 
– масса Земли.
В точке 2, находящейся на другом расстоянии от центра Земли, будет действовать другая сила
.
В каждой точке пространства есть сила. Эту силу называют вектором поля. Вектор поля зависит в общем случае от координат и времени
.
Если в точку 1 поместить другой космический корабль, имеющий другую массу, то вектор поля будет иметь другое значение, т. е. вектор поля зависит от массы тела, помещенного в данную точку поля. Это неудобно, поэтому лучше брать тело одинаковой массы т = 1 кг. Сила, действующая на тело массой 1 кг,называется напряженностью гравитационного поля
.
Напряженность гравитационного поля как и вектор поля, зависит от координат и времени
.
Работа в стационарном поле при движении тела по замкнутой траектории имеет вид: 
.
Такие поля называются потенциальными полями, а силы, создающие такие поля, – консервативными силами. Это справедливо для гравитационного поля Земли.
Следствие 1. Работа, совершаемая в потенциальном поле, не зависит от траектории.
Рис. 2.5. Траектория тела в потенциальном поле
Действительно, если из точки 1 (рис. 2.5) переместиться в точку 2 по пути а и затем вернуться в точку 1 по другому пути b, то суммарная работа будет равна нулю:
.
Но работа 
, тогда 
, следовательно, 
.
Следствие 2. Разность значений потенциальной энергии тела в точках 1 и 2 равна работе по перемещению тела из точки 2 в точку 1:
.
Это уравнение можно считать определением потенциальной энергии тела, находящегося в силовом поле.
Примечание 1. Потенциальная энергия больше в той точке, для достижения которой нужно совершить большую положительную работу 
.
Примечание 2. Потенциальная энергия всегда отсчитывается от заранее выбранной точки поля. Удобно брать в качестве начальной точку, удаленную в бесконечность. Тогда потенциальная энергия тела в данной точке будет равна работе, которую нужно совершить для перемещения тела из бесконечности в эту точку.
Примечание 3. При движении тел в гравитационном поле Земли (вблизи поверхности Земли) начальную точку целесообразно брать на поверхности Земли.
Пример. Вычислить потенциальную энергию тела массой m = 10 кг, находящегося в точке, расположенной на высоте h = 1000 км от поверхности Земли (M – масса Земли; G – гравитационная постоянная; R – радиус Земли).
Решение:
Дж.
Потенциальная энергия, в отличие от вектора поля, – скалярная величина. Она зависит от координат: 
. Потенциальная энергия, как и вектор поля, зависит от массы тела, помещенного в данную точку поля.
Для характеристики энергии в данной точке поля удобно рассчитывать потенциальную энергию для тела массой 1 кг. Такая потенциальная энергия называется потенциалом
.
Потенциал данной точки поля равен работе по перемещению тела массой 1 кг из бесконечности в эту точку.
Примечание. Для электрического поля существенна не масса, а заряд. Поэтому при вычислении напряженности и потенциала следует относить силу и потенциальную энергию к единице заряда
; 
,
где q – пробный заряд; q0 – заряд, создающий поле.
Работу по перемещению тела из одной точки в другую можно вычислить через разность потенциалов
или 
.
Закон сохранения полной механической энергии. При движении тела массой m в потенциальном поле на пути dS совершается работа 
. Силу по второму закону динамики можно представить в виде: 
, т. е.
, (2.6)
или по-другому
. (2.7)
Изменение кинетической энергии равно работе. Но работа равна изменению потенциальной энергии dA = dEn, поэтому
, или 
,
следовательно,
,
где 
– полная энергия тела.
При движении тела в потенциальном поле его полная механическая энергия остаётся постоянной. Это и есть закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия сохраняется также и для замкнутой системы, состоящей из произвольного количества тел.
