Динамика изучает движение тел совместно с причинами этого движения. В основе классической, или ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г. Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов.

Однако с развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики. Появилась специальная теория относительности (Альберт Эйнштейн, 1905) – механика больших скоростей, ее называют релятивисткой механикой, квантовая механика. Классическая механика является предельным случаем релятивисткой, а также квантовой механики. То есть развитие науки не перечеркнуло классическую механику, а лишь показало ее ограниченную применимость.

В классической механике состояние движения частицы в любой момент времени характеризуется положением частицы (координатами х, у, z) и скоростью . Вместо скорости можно использовать импульс, т. е. величину , где  – масса частицы.

Уравнение, связывающие координаты х, у, z и скорость  частицы (или импульс ) со временем t, называется уравнением движения частицы. При необходимости можно найти зависимость координат х, у, z от t и построить в пространстве траекторию движения частицы, а также найти значения скорости или импульса в любой точке траектории.

Законы Ньютона. Первый закон Ньютона – Закон инерции. Тело, не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно.

Такое тело называется свободным, а его движение – свободным движением, или движением по инерции.

Примечание. Если силы, действующие на тело, взаимно компенсируют друг друга (равнодействующая сил равна нулю), то тело также можно считать свободным. Это тело также будет двигаться по инерции.

Одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета. Если в какой-либо системе отсчета тело движется прямолинейно и равномерно, то в системе отсчета, движущейся относительно первой ускоренно, этого уже не будет. То есть закон инерции не может быть справедлив во всех системах отсчета.

Система отсчета, в которой справедлив первый закон Ньютона, т. е. в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно, называется инерциальной. Система отсчета, движущаяся с ускорением, является неинерциальной.

Система отсчета, связанная с Землей, является неинерциальной, потому что Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца, т. е. движется ускоренно. Но оба эти вращения происходят медленно. 
Поэтому по отношению к громадному кругу явлений земная система отсчета ведет себя практически как инерциальная система.

Второй закон Ньютона. Всякое изменение состояния движения, любое ускорение есть результат действия на движущееся тело со стороны других тел.

Мера воздействия на тело других тел есть сила F (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Единицы измерения силы

Система СИ	Система СГС	Размерность	Связь физических величин
1 Ньютон (1 Н)	1 Дина	MLT–2	1 Н = 105 Дин

 

С учетом силы второй закон Ньютона записывается: сила , действующая на тело с массой m, численно равна произведению массы m на ускорение , которое тело приобретает под действием этой силы, т. е.

 

.                                               (1.10)

 

Учитывая, что ,  (импульс тела), формула (1.10) будет иметь вид:

, т. е. ;

.                                              (1.11)

 

Из (1.11) следует, что скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе . Силы являются векторными величинами и складываются векторно, т. е. по правилу параллелограмма.

Если (1.10) записать в виде:

 

,                                           (1.12)

 

то (1.12) можно назвать уравнением движения.

Масса m – величина, характеризующая инертность тела. Напомним, что в релятивистской механике масса увеличивается с увеличением скорости тела .

Масса тела, определенная по формуле (1.10), называется инертной массой. А масса тела, определенная из закона всемирного тяготения, называетсягравитационной массой. Инертная и гравитационная массы одного и того же тела с высокой точностью совпадают (равны между собой).

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположные по направлению. Эти силы всегда приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга.

Силы. Все силы, встречающиеся в природе, известные в настоящее время сводятся:

·     к силам гравитационного притяжения;

·     электромагнитным силам;

·     сильным взаимодействиям;

·     слабым взаимодействиям.

Электромагнитные и гравитационные силы являются дальнодействующими, с расстоянием они убывают медленно. Силы же сильных и слабых взаимодействий проявляются только в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Они действуют на малых расстояниях: сильные – на расстояниях порядка 10–13 см, слабые – 10–13 см. В макромире, который изучает классическая механика, от сильных и слабых взаимодействий можно отвлечься.

Электромагнитными по своей природе являются силы сопротивления движению тел в газах и жидкостях, силы трения и упругие.

Упругие силы. Характерным примером упругой силы является сила F, действующая на тело со стороны растянутой пружины,

 

,                                         (1.13)

 

где  – коэффициент упругости;  – растяжение пружины.

При деформации твердого тела на величину  также возникают упругие силы . Выражение (1.13) называют законом Гука.

Силы сопротивления среды [2, § 15]. Силы сопротивления среды  (например, шар, движущийся в среде) пропорциональны в первом приближении скорости тела и в этой среде:

 

,                                         (1.14)

 

где  – коэффициент сопротивления;  – скорость тела.

Величина  зависит от формы и размеров тела, состояния его поверхности и свойства среды, называемого вязкостью.

Силы трения. Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей относительно друг друга. Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки между ними, например смазки, называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким (или жидким).

Применительно к сухому трению различают трение скольжения и трение качения.

Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям (или слоям), причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей (слоев). В случае сухого трения силы трения  возникают даже при попытках вызвать такое скольжение. Такая сила  называется силой трения покоя.

Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя , а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными величине силы нормального давления , прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

 

,                                          (1.15)

 

где  – коэффициент трения (соответственно покоя или скольжения).

Коэффициент  зависит от природы и состояния трущихся поверхностей. Для уменьшения  применяется смазка, а в последнее время создается «воздушная подушка» между соприкасающимися поверхностями.

Для уменьшения коэффициента трения и увеличения срока службы машин с трущимися поверхностями применяют эффект безызносности. Этот эффект состоит в том, что при трении медных сплавов о сталь в условиях граничной смазки, исключающей окисление меди, происходит явление избирательного переноса меди из твердого раствора медного сплава на сталь и обратного ее переноса со стали на медный сплав, сопровождающееся уменьшением коэффициента трения до жидкостного и приводящее к значительному снижению износа пары трения [10]. Это открытие сделано профессорами института машиноведения Д.Н. Гаркуновым и И.В. Крагельским.

Группа московских ученых (Е.А. Духовской, B.C. Онищенко и др.) открыла «явление аномально низкого трения в вакууме», когда в паре трения металл-полимер в вакууме на поверхность полимера воздействуют потоком ионов гепия, то происходит уменьшение коэффициента трения в 100 и более раз [10]. Практическая ценность обусловлена возможностью использования этого явления в машинах и приборах, работающих в космическом пространстве.

Силы инерции. Законы Ньютона «справедливы для инерциальных систем координат». В неинерциальных системах эти законы не выполняются, напомним, что системы координат, движущиеся ускоренно, являются неинерциальными.

Пример. Если вагон (рис. 1.9, а) движется влево с ускорением a, то наблюдателю в вагоне кажется, что шар покатился вправо, хотя на него не подействовала сила. Первый закон Ньютона нарушен.

 

Рис. 1.9. Неинерциальная система координат

Пример. Если вагон движется вправо с ускорением a, то со стороны стенки вагона (рис. 1.9, б) на шар действует сила F, а шар остается неподвижным относительно вагона. Второй закон Ньютона нарушен.

Когда система начинает двигаться с ускорением, возникают силы со стороны связей, действующие на все тела, находящиеся в этой системе и принимающие участие в ускоренном движении. Эти силы обеспечивают телам необходимое ускорение. Возникают эти силы благодаря деформации связей, а последняя возникает в результате различия перемещений, скоростей и ускорений различных частей ускоренно движущейся системы вследствие конечности скорости передачи воздействия.

Эти силы, действующие на тела, находящиеся в ускоренно движущихся системах, и на связи, при помощи которых тела связаны с системой, ничем по своей природе не отличаются от множества других сил, в которых проявляются взаимодействия тел природы между собой. Отличие заключается только в их происхождении, связанном с ускоренным движением системы. С исчезновением ускорения системы исчезают и эти силы.

Сила, действующая на ускоряемое тело со стороны ускоряющего, называется движущей или активной силой. Сила, с которой ускоряемое тело действует на ускоряющее тело или на связь, называется силой инерции. Подчеркнем, что реально существующие силы инерции приложены к связям.

Назовем их силами инерции I рода, в отличие от фиктивных сил инерции II рода, условно прилагаемых к ускоряемым телам.

Фиктивные силы инерции

1. До сих пор мы описывали механические явления, относя их к инерциальной системе, для которой справедливы законы Ньютона.

Такой системой в первом приближении является система координат, связанная с поверхностью Земли, если длительность изучаемого процесса мала по сравнению с периодом обращения ее вокруг оси, так что можно пренебречь изменением вектора скорости поверхности Земли в данном месте за время процесса. Наблюдая механические процессы за более длительные промежутки времени, мы имеем возможность установить вращение Земли вокруг ее оси (опыт Фуко) и вокруг Солнца (аберрация звезд), т. е. установить неинерциальность системы координат, связанной с Землей. Однако ускорения, связанные с вращением Земли вокруг оси и вокруг Солнца, настолько малы, что в практической деятельности ими можно пренебречь; влияние их так ничтожны, что нужны специальные, довольно тонкие наблюдения, чтобы установить их наличие. Поэтому человечество в течение длительного периода считало Землю неподвижной.

Из практических наблюдений вследствие малости ускорений вращения Земли были получены законы Ньютона, справедливые, строго говоря, только в инерциальных системах.

Итак, в нашей практической жизни мы с достаточной точностью можем считать Землю инерциальной системой.

2. В ряде случаев оказывается необходимым описание механических процессов в системе координат, движущейся с ускорением. Например, находясь в вагоне поезда, мы с полным основанием можем описывать все механические явления в вагоне, относя их к системе координат, связанной с вагоном, а не с землей. Если вагон в какие-то моменты получает ускорение или замедление, то это уже не будет инерциальная система координат.

Возникает естественный вопрос: справедлива ли механика Ньютона в неинерциальных системах координат? Легко убедиться, что законы Ньютона не выполняются в неинерциальных системах.

Чем же руководствоваться при рассмотрении механических явлений в неинерциальных системах? Механика инерциальных систем благодаря ее практическим применениям выросла в обширную науку, обладающую мощным математическим аппаратом и способную решать сложнейшие задачи. Было нецелесообразно отказываться от такого мощного научного метода для случая неинерциальных систем. Необходимо было попытаться внести в ньютоновскую механику такие изменения, которые сделали бы ее применимой и для случая неинерциальной системы. Оказалось, что это можно сделать довольно просто.

Шар, не связанный с вагоном силами трения, в случае ускоренного движения вагона покоился относительно Земли и двигался с ускорением относительно вагона. Для того чтобы применить механику Ньютона в ускоренно движущемся вагоне, надо было только предположить, что на шар в вагоне действует какая-то сила, направленная против ускорения вагона и равная – та, где т – масса шара и а – ускорение вагона. Эта сила и сообщает шару ускорение относительно вагона. Такой силы нет в инерциальной системе. Она условно введена в неинерциальной системе, чтобы было возможно применять механику Ньютона в этой системе. 
Эта «сила» не соответствует какому-либо физическому взаимодействию между телами. Попросту говоря, такой силы нет. Введение такой условной силы есть метод, позволяющий применять законы механики Ньютона к неинерциальным системам. Эта сила условно считается приложенной к телам, находящимся в ускоренно движущихся системах, направлена против ускорения системы и называется силой инерции. Итак, силы инерции, условно приложенные к телам, а не к связям, безусловно, фиктивны. 
Их введение оправдано только тем, что оно позволяет применять механику Ньютона там, где она фактически неприменима. Не надо путать эти условные силы инерции с теми реальными силами инерции, о которых речь шла в предыдущем параграфе. Назовем эти условные силы силами инерции II рода, в отличие от реальных сил инерции I рода, приложенных к связям в ускоренно движущихся системах.

В механике мы встречаемся еще с одним случаем введения фиктивных сил инерции – принципе Даламбера. Принцип Даламбера, по существу, есть метод решения динамических задач методами статики. 
Согласно этому принципу уравнение второго закона Ньютона, представляющее дифференциальное уравнение второго порядка

,

записывается в иной форме

и истолковывается в том смысле, что движущая сила  уравновешивается силой инерции – . Тогда задачи динамики можно решать как задачи статики, что в некоторых случаях значительно упрощает математический аппарат. Разумеется, замена члена –  фиктивной силой инерции есть не что иное, как математический прием, и не имеет под собой никакой физической подкладки. Не может быть и речи о том, что движущая сила ,сообщая телу ускорение , уравновешивалась бы какой-либо другой силой, например, силой инерции. Если бы такое равновесие существовало, то нарушались бы законы Ньютона, так как тело имело бы ускорение при отсутствии действующей на него силы (равновесие двух сил). Если законы Ньютона имеют место, то в случае равновесия сил тело должно двигаться равномерно и прямолинейно.

Итак, для упрощения способов решения механических задач вводятся фиктивные силы инерции II рода, якобы приложенные к движущемуся телу, направленные против ускорения и равные – . Нет никакого смысла искать, какую-либо физическую природу этих сил. Нужно считать введение сил инерции, приложенных к телу в неинерциальных системах, чисто математическим приемом, оправдываемым только тем, что он дает возможность к инерциальным системам применить хорошо разработанный математический аппарат ньютоновской механики. Этим условным силам инерции II рода, якобы приложенным к движущимся с ускорением телам, соответствуют реальные силы инерции I рода, приложенные к связям.

Центростремительная и центробежная силы инерции. 
При вращении тела по окружности на тело действует центростремительная сила 

 

,                                         (1.16)

 

где  – скорость тела, направленная по касательной к траектории движения (окружности);  – расстояние от центра окружности до тела. 
Центростремительная сила приложена к телу и направлена к центру вращения. Она является причиной вращения тела по окружности.

Центробежная сила приложена к связям (веревке, удерживающей вращающееся тело; спицам колеса) со стороны тела; она направлена от центра и также имеет вид:

 

.                                         (1.17)

 

Центростремительная и центробежная силы всегда приложены к разным телам. Центробежная сила является силой инерции.

Рассмотрим для примера вращение Земли вокруг Солнца. Центростремительной силой является в данном случае сила всемирного тяготения со стороны Солнца. На Солнце в свою очередь с такой же силой действует Земля. В сущности, оба небесных тела под действием этих сил вращаются вокруг общего центра тяжести Солнечной системы.

Иногда механизм вращения Земли неправильно описывают так: Земля якобы потому не падает на Солнце, что  сила притяжения ее к Солнцу уравновешивается центробежной силой. Это грубое заблуждение, так как при наличии такого равновесия сил Земля должна была бы двигаться равномерно и прямолинейно, а не вращаться вокруг Солнца. Кроме того, нет никакой физической причины для появления еще какой-то приложенной к Земле силы – «центробежной». Земля не падает на Солнце только потому, что имеет тангенциальную скорость, которую она сохраняет по первому закону Ньютона. Она неизбежно упала бы на Солнце, если бы потеряла по каким-либо причинам эту тангенциальную скорость. Следовательно, все дело не в центробежной скорости, приложенной к Земле, а в наличии у Земли скорости, направленной по касательной.

Сила Кориолиса. При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центробежной силы инерции, появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса, или Кориолисовой силой инерции. Эта сила  имеет вид

 

,                                      (1.18)

 

где  – масса движущегося тела;  – угловая скорость вращения системы координат, в которой движется тело;  – скорость движущегося тела.

Сила тяжести и вес тела. Под действием силы притяжения (вблизи поверхности) все тела падают относительно поверхности Земли с ускорением д. Следовательно, у поверхности Земли на всякое тело массы m действует сила

 

.                                             (1.20)

 

Эта сила  называется силой тяжести.

Сила , с которой тело действует на связи (подвес или опору), называется весом тела. Вес тела зависит от ускорения , с которым движется тело, и может быть больше или меньше 

 

.                                         (1.21)

 

Плюс соответствует случаю, когда вектор  направлен против вектора , минус –  вдоль  при  = 0 .

 

1.3. Импульс тела

 

Закон изменения импульса тела. Предположим, что в изолированной системе на тело массой m в течение времени  действует сила , тогда на основании 2-го закона Ньютона ( – изменение скорости тела)

;  ;

 

,                                   (1.22)

 

где  – импульс силы;  и  – соответственно импульс до воздействия и после воздействия.

Иногда импульс тела называют количеством движения тела. 
Из формулы (1.22) видно, что изменение импульса тела (количества движения) численно равно импульсу силы.

 

Выводы:

1. Если , то , , т. е. шары обмениваются скоростями после соударения (рис. 1.12).

· Если , , , то после удара , .

· Удар первого шара о массивную стенку ()

,                (1.40)

· Удар второго шара о массивную стенку

.                                      (1.41)

Если стенка неподвижна, то скорость после удара у шара остается той же самой (по величине) и направлена в противоположную сторону.

 

Рис. 1.12. Положение шаров до удара (а) и после удара (б)

 

Абсолютно неупругий удар. Шары после удара движутся вместе

,  .                  (1.42)

 

Выше проведено классическое описание соударения тел (шаров). При таком описании из внимания выпадают многие физические особенности удара. Например, если шар ударяется упруго о массивную закрепленную стенку, то после удара он имеет ту же скорость, что и до удара, но направление скорости противоположно (шар удаляется от стенки). Если же за стенкой имеется второй шар (он соприкасается со стенкой), находящийся на линии удара, то результат после удара первого шара о стенку совершенно другой. Первый шар останется неподвижным у стенки, а второй – начнет удаляться от стенки со скоростью первого шара (если массы шаров одинаковы). Этот результат практически не зависит от толщины стенки.

Такое поведение тел при ударе хорошо объясняет волновая теория удара с учетом теории упругости [11, 12].

Напомним, что механическим ударом называется явление, возникающее при столкновении тел, сопровождающееся полным или частичным переходом кинетической энергии тел в энергию их деформации. Удар – явление не мгновенное, а протекающее во времени. Механические деформации и напряжения распространяются в теле после удара с конечной скоростью. Этим и объясняется поведение шаров при соударении с массивной стенкой.

Разработкой волновой теории удара занимался советский ученый Е.В. Александров [11, 12] и другие ученые [13, 14], и на этой основе были созданы более эффективные ударные машины, используемые в угольной промышленности.

 

1.4. Динамика вращательного движения

 

Динамические величины, характеризующие вращательные движения, различны для точек, находящихся на разных расстояниях от оси вращения. Поэтому при описании вращательного движения мы не можем использовать понятие силы, а должны использовать понятие момента силы. Вместо импульса следует применять момент импульса, вместо массы – момент инерции.

Моментом силы  называется произведение силы , под действием которой тело вращается на плечо силы 

.

Плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Вектор момента силы М в общем случае равен векторному произведению

.                                         (1.43)

 

Момент силы является аксиальным вектором. Если в правой декартовой системе координат  направить вдоль оси , а  – вдоль , то  будет направлен в положительном направлении оси .

 

Рис. 1.13. Моменты сил М1 и M2, действующие на тело, закрепленное на оси О

Если на тело действуют несколько сил, то для каждой силы существует свой момент сил  и  (рис. 1.13).

Действующие на тело силы , и  не вызывают вращения, если их моменты  и  взаимно уравновешиваются, т. е. равны по величине и обратны по знаку.

Момент инерции материальной точки обозначается  и равен произведению массы точкина расстояние  от оси вращения до точки

 

.                                                 (1.44)

 

Если тело массивное (не является материальной точкой), то необходимо разбить тело на маленькие участки с массой , находящиеся на расстоянии  от оси, и найти для каждой области свой момент инерции

.

Результирующий момент инерции тела будет равен сумме всех моментов

 

.                                    (1.45)

Рис. 1.14. Вычисление момента инерции однородного диска

Выражение (1.45) используется для вычисления момента инерции достаточно простых тел – диска, стержня, шара и т. д.

Пример 1. Вычислить момент инерции однородного диска толщиной д, радиусом R и плотностью с (рис. 1.14). За элементарную массу бесконечно тонкого цилиндра радиусом r, толщиной dr и высотой д примем

 

.

Тогда момент инерции диска

Учитывая, что масса всего диска

,

получим

.

Итак, момент инерции – это аналог массы и является мерой инерции вращающегося тела. Однако масса тела не зависит от характера движения, а значение момента инерции зависит от того, относительно какой оси он вычисляется.

Если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси О (рис. 1.15), то момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии R, можно вычислить, используя теорему Штейнера:

.

Пример 2. Момент инерции диска относительно оси, проходящей по краю диска (рис. 1.15),

 

.

 

Рис. 1.15. К теореме Штейнера

 

Аналогия поступательного и вращательного движения. 
Мы получили все величины, характеризующие динамику вращательного движения.

Все уравнения для вращательного движения можно получить из уравнений для поступательного движения, заменив соответствующие характеристики их аналогами.

Второй закон динамики для поступательного движения

.

Второй закон динамики для вращательного движения

,                                             (1.46)

 

где  – момент силы, действующий на тело, Н·м;  – момент инерции тела, кг·м2;  – угловое ускорение тела.

1.5. Закон сохранения момента импульса

 

Момент импульса вращающегося тела

,                                      (1.47)

 

где  – масса тела;  – скорость;  – радиус орбиты, по которой перемещается тело;  – момент инерции;  – угловая скорость вращающегося тела.

Закон сохранения момента импульса:

– для вращательного движения

 при ;

закон сохранения импульса:

– для поступательного движения

 при .

Лекция 2.