Отображение A метрического пространства M в себя называется сжимающим отображением (сжатием), если существует такое число 
, что для любых двух точек 
выполняется неравенство
  . |
(1) |
Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если Ax=x. Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения Ax=x.
Теорема. (Принцип сжимающих отображений).
Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве M, имеет одну и только одну неподвижную точку.
Доказательство.
Пусть 
-произвольная точка в M. Положим 
Покажем, что последовательность 
фундаментальная. Действительно, считая для определенности 
, имеем
Так как , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты M последовательность , будучи фундаментальной, имеет предел.
Положим 
.
Если 
, то в силу (1) 
. Поэтому
.
Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность.
Если 
, то (1) принимает вид
.
Так как , отсюда следует, что
.
Теорема доказана.
Пример.
6.2.1. Пусть f – функция, определенная на отрезке [a,b] и удовлетворяющая условию Липшица
с константой K<1. Пусть f отображает отрезок [a,b] в себя. Тогда f есть сжимающее отображение и, согласно доказанной теореме, последовательность
сходится к единственному корню уравнения 
. В частности, условие сжимаемости выполнено, если функция дифференцируема и 
.
- получили одно решение в точке 0, так как в точке 1 нарушается сжимаемость, т.е. замкнутое изображение не сжимающее.
Сжимаемости нет, так как при каждой итерации расстояние увеличивается.
