Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Вычисление производной функции . Приме

Понятие производной, ее геометрический и механический смысл

Определение:

Средней скоростью изменения функции при переходе независимой переменной от значения к значению называется отношение приращения функции к приращению независимой переменной, то есть

Определение:

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции при заданном значении независимой переменной называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :

1.Механический смысл производной

Теорема:

Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :

Пример:

Задание. Тело движется прямолинейно по закону (м). Определить скорость его движения в момент с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

В заданный момент времени

(м/с).

Ответ. (м/с).

2.Геометрический смысл производной

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

Замечание:

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Пример:

Задание. На рисунке №1 изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найти значение .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

Найдем угол . Рассмотрим треугольник - прямоугольный, равнобедренный. Тогда, а значит

А отсюда следует, что

Ответ.

Уравнение касательной к графику функции

Ключевые слова: касательная, прямая, производная, функция, угловой коэффициент

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке f=f(x0+x)−f(x0) к приращению аргумента x
при x0: f(x0)=limx0xf(x0+x)−f(x0).

Геометрический смысл производной

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Вычисление производной функции

Таблица производных элементарных функций
1. $y=x^{\mu},\qquad y^{\prime}=\mu x^{\mu-1}$ ;

2. $y=a^x,\qquad y^{\prime}=a^x\ln a$ ;

3. $y=\log_a x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over x}\log_ae={1\over x\ln a}$ ;

4. $y=\sin x,\qquad y^{\prime}=\cos x$ ;

$y=\cos x,\qquad y^{\prime}=-\sin x$ ;

$y={\rm tg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \cos^2x}$ ;

$y={\rm ctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sin^2x}$ ;

$y={\rm arcsin}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \sqrt{1-x^2}}$ ;

$y={\rm arccos}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sqrt{1-x^2}}$ ;

$y={\rm arctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over 1+x^2}$ .

Вычислите производные следующих функций:

а) f(x)=3-2x ;

б) $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ;

в) $f(x)=x^2\sqrt[4]{x^5}$ ;

г) $f(x)=\cos x-{\rm tg}\, x$ ;

д) $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ .

Примеры не дифференцируемых функций в точке

Исходя из определения, докажем, что функция y = x2 дифференцируема в точке x0 = 3.

Решение.

Функция называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение представимо в виде

Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) ,

где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости, чем Δx, при Δx → 0 .

В нашем случае приращение функции y = x2 в точке x0 =3 имеет вид

Δf = (3 + Δx)2 − 9 = 6 · Δx + (Δx)2 .

Таким образом, приращение Δf есть сумма линейной относительно Δx части, равной 6 · Δx, и бесконечно малой (Δx)2 второго (более высокого, чем Δx) порядка малости при Δx → 0. Следовательно, по определению функция y = x2 дифференцируема в точке x = 3.