Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы

Обратная матрица

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

$\! AA^{-1} = A^{-1}A = E$

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы:

$\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}$ , где $\ \det$ обозначает определитель.
$\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ для любых двух обратимых матриц $A$ и $B$ .
$\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ где $*^T$ обозначает транспонированную матрицу.
$\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$ для любого коэффициента $k\not=0$ .
Если необходимо решить систему линейных уравнений $Ax=b$ , (b — ненулевой вектор) где $x$ — искомый вектор, и если $A^{-1}$ существует, то $x=A^{-1} b$ . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы:

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00 . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00 , где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось, kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01 , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image02 .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00 , то есть в данном случае .

Возвращаемся к нашей матрице kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image02
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00 :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image03
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Готово.

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image04 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image04 .

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image04
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!