Теорема о необходимом условии существования производной в точке.

ЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке $x_{0}$ , то функция f(x) в этой точке непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть существует ${f}'(x_{0}) = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x}$ . Тогда

$\frac{\triangle f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) + \alpha(\triangle x)$ ,

где $\alpha(\triangle x)$ – бесконечно малая при $\triangle x \to 0$ .

⇒ $\triangle f(x_{0}) = f^{'}(x_{0})\triangle x + \alpha(\triangle x)\triangle x$ ;

⇒ $\lim_{\triangle x \to 0}\triangle f(x_{0}) = \lim_{\triangle x \to 0}[ f^{'}(x_{0})\triangle x + \alpha(\triangle x)\triangle x] = f^{'}(x_{0})\triangle x + \lim_{\triangle x \to 0}(\alpha(\triangle x)\triangle x) = 0 + 0 = 0$

Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке $x_{0}$ (по геометрическому определению непрерывности). ∎