Теорема о непрерывности сложной функции

Непрерывность сложной функции.

Введём понятие сложной функции. Пусть функции  и  определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции  содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом значение , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций  и f и обозначают .

Теорема. Если функция z=f(y) непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке  , причём  , то в некоторой окрестности точки  определена сложная функция , и эта функция непрерывна в точке  .

○ Пусть задано произвольное число . В силу непрерывности функции f в точке существует число  такое, что  и

 (2)

где .

В силу непрерывности функции  в точке  для найденного в (2) числа 

можно указать число  такое, что

 (2')

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве  определена сложная функция, причём

 ,

где , т.е.

.

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция  непрерывна в точке .●