Формулы

Первый закон Ньютона[править | править исходный текст]

Основная статья: Инерция

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция — это свойство тела сохранять свою скорость движения неизменной (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают разной инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их скорости. Величина инертности характеризуется массой тела.

Современная формулировка[править | править исходный текст]

В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде^[3]:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Историческая формулировка[править | править исходный текст]

Ньютон в своей книге «Математические начала натуральной философии» сформулировал первый закон механики в следующем виде:

Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

С современной точки зрения, такая формулировка неудовлетворительна. Во-первых, термин «тело» следует заменить термином «материальная точка», так как тело конечных размеров в отсутствие внешних сил может совершать и вращательное движение. Во-вторых, и это главное, Ньютон в своём труде опирался на существование абсолютной неподвижнойсистемы отсчёта, то есть абсолютного пространства и времени, а это представление современная физика отвергает. С другой стороны, в произвольной (скажем, вращающейся) системе отсчёта закон инерции неверен, поэтому ньютоновская формулировка была заменена постулатом существования инерциальных систем отсчета.

Второй закон Ньютона[править | править исходный текст]

Основная статья: Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами^[4]^[5]^[6]^[7].

Современная формулировка[править | править исходный текст]

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

$\vec a = \frac {\vec {F}} {m} ,$

где $\vec a$ — ускорение материальной точки;
$\vec {F}$ — равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке;
$m$ — масса материальной точки.

Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил.

$\frac {d \vec p} {dt} = \vec{F},$

где $\vec p=m\vec v$ — импульс точки, $\vec v$ — её скорость, а $t$ — время. При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени^[8]^[9]^[10].

Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения $\frac {d \vec p} {dt} = \vec{F}$ и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила^[11]^[12].

Замечания[править | править исходный текст]

Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции, второй закон Ньютона записывается в виде:

$m \vec a = \sum_{i=1}^{n} {\vec{F_i}}$

или,

$\frac {d \vec p} {dt} = \sum_{i=1}^{n} {\vec{F_i}}.$

Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, действителен только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света. При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона, получаемое в рамках специальной теории относительности.

Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при $\vec {F} = 0$ ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Историческая формулировка[править | править исходный текст]

Исходная формулировка Ньютона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Интересно, что если добавить требование инерциальности для системы отсчёта, то в такой формулировке этот закон справедлив даже в релятивистской механике.

Третий закон Ньютона[править | править исходный текст]

Этот закон описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой $\vec{F}_{1 \to 2}$ , а вторая — на первую с силой $\vec{F}_{2 \to 1}$ . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия $\vec{F}_{1 \to 2}$ равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия $\vec{F}_{2 \to 1}$ .

Современная формулировка[править | править исходный текст]

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

$\vec{F}_{2 \to 1} = -\vec{F}_{1 \to 2}.$

Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно^[13].

Историческая формулировка[править | править исходный текст]

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны.

Для силы Лоренца третий закон Ньютона не выполняется. Лишь переформулировав его как закон сохранения импульса в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поля, можно восстановить его справедливость^[14].

Выводы[править | править исходный текст]

Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали друг с другом посредством сил, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, если потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел $~U(|{r}_1 - {r}_2|)$ , то возникает закон сохранения механической энергии взаимодействующих тел:

${m {v}_1^2 \over 2} + {m {v}_2^2 \over 2} + U(|{r}_1 - {r}_2|) = \operatorname{const}.$

Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены уравнения движения механических систем. Однако не все законы механики можно вывести из законов Ньютона. Например, закон всемирного тяготения или закон Гука не являются следствиями трёх законов Ньютона.

Комментарии к законам Ньютона[править | править исходный текст]

Силы инерции[править | править исходный текст]

Основная статья: Сила инерции

Помимо сил, о которых идёт речь во втором и третьем законах Ньютона, в механике вводят в рассмотрение так называемые силы инерции. Обычно речь идёт о силах инерции двух различных типов^[15]. Сила первого типа (даламберова сила инерции) представляет собой векторную величину, равную произведению массы материальной точки на её ускорение, взятое со знаком минус. Силы второго типа (эйлеровы силы инерции) используются для получения формальной возможности записи уравнений движения тел в неинерциальных системах отсчёта в виде, совпадающем с видом второго закона Ньютона. По определению эйлерова сила инерции равна произведению массы материальной точки на разность между значениями её ускорения в той неинерциальной системе отсчёта, для которой эта сила вводится, с одной стороны, и в какой-либо инерциальной системе отсчёта, с другой^[13]^[15].Определяемые таким образом силы инерции силами в смысле законов Ньютона не являются^[16]. Данный факт служит основанием для утверждения о том, что они не являются физическими силами^[13]; ту же мысль выражают, называя их фиктивными^[17], кажущимися^[18] или псевдосилами^[19].

равноускоренного движения.

Неравномерное движение – это движение с изменяющейся скоростью.

Неравномерное движение характеризуется средней скоростью и мгновенной

скоростью.

Средней скоростью пути 〈υ〉 называется отношение пройденного пути s

к тому промежутки времени Δt, за который этот путь проделан: s

〈υ〉 =

Средней скоростью перемещения 〈υ

18.01.2014; 03:21

хиты: 54

рейтинг:0