Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m1, m2, …, mn, находящихся на расстояниях r1, r2, …, rn от оси вращения, то при вращении они будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями v1, v2, …, vn. Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек будет одинакова:
Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим:
(4.9)
Сопоставление формулы (4.9) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью v, показывает, что момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении.
Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия определяется как сумма двух составляющих:
(4.10)
где vc – скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.
Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величинаMz, равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента Mz не зависит от выбора положения точки 0 на оси z.
Если ось z совпадает с направлением вектора M, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:
Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена к точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r (рис. 4.6); α – угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds = rdφ, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:
Учитывая, что Frsinα = Mz можно записать dA = Mzdφ, где Mz - момент силы относительно оси вращения. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
(4.11)
Уравнение (4.11) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, получим:
(4.9)Сопоставление формулы (4.9) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью v, показывает, что момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении.
Если твердое тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия определяется как сумма двух составляющих:
(4.10)где vc – скорость центра масс тела; Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.
Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величинаMz, равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента Mz не зависит от выбора положения точки 0 на оси z.
Если ось z совпадает с направлением вектора M, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:
Mz = [rF]z
Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена к точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r (рис. 4.6); α – угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds = rdφ, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:dA = Fsinα*rdφ
Учитывая, что Frsinα = Mz можно записать dA = Mzdφ, где Mz - момент силы относительно оси вращения. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
dA = dEk
(4.11)Уравнение (4.11) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
