Постановка задачи линейного программирования и свойства ее решений
Линейное программирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.
Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.
Формы записи задачи линейного программирования:
Общей задачей линейного программирования называют задачу
(2.1)
при ограничениях
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
- произвольные 
(2.6)
где 
- заданные действительные числа; (2.1) – целевая функция; (2.1) – (2.6) –ограничения; 
- план задачи.
Пусть ЗЛП представлена в следующей записи:
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Чтобы задача (2.7) – (2.8) имела решение, системе её ограничений (2.8) должна быть совместной. Это возможно, если r этой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>nвообще невозможен. При r=n система имеет единственное решение, которое будет при 
оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки многогранных решений. Пусть r<n. В этом случае система векторов 
содержит базис — максимальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, вообще говоря, может быть несколько, но не более 
. Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют, как известно, базисными и обозначают БП. Остальные n – r переменных будутсвободными, их обозначают СП. Не ограничивая общности, будем считать, что базис составляют первые m векторов 
. Этому базису соответствуют базисные переменные 
, а свободными будут переменные 
.
Если свободные переменные приравнять нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (8) называютопорным решением (планом).
Теорема. Если система векторов 
содержит m линейно независимых векторов 
, то допустимый план
(2. 10)
является крайней точкой многогранника планов.
Теорема. Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.
