Понятие центра масс

Центр масс, или центр инерции системы материальных точек – условная точка, представляющая собой одну из геометрических характеристик распределения масс в системе. Пусть mi – масса i-той (i=1…n) точки системы, а

– радиус-вектор этой точки в некоторой системе координат. Тогда радиус-вектор

центра масс определяется по формуле:

, (1)

где m – масса системы точек, равная:

. (2)

Произвольное тело можно разбить на столь малые части, что их можно считать материальными точками (объекты пренебрежимо малых размеров, т.е. бесструктурные). Поэтому механические системы считаются состоящими из определенного числа материальных точек. Если не рассматривать вращательные движения, все движения механических систем являеются поступательными, т.е. каждая точка движется по одинаковой траектории. При этом удобно было бы иметь некий условный объект, силовые воздействия на который эквиваленты действию на систему, таким объектом и является центр масс. Если написать второй закон Ньютона для каждой точки системы и сложить все получившиеся уравнения, получится уравнение аналогичного типа, где в левой части будет стоять производная по времени суммарного импульса системы (все ускорения, силы и импульсы – векторы) :

, (3)

. (4)

В правой части уравнения (4) двойная сумма изображает векторную сумму всех внутренних сил системы. Но, согласно третьему закону Ньютона, для каждого действия найдется равное ему и противоположно направленное противодействие. Получаем:

. (5)

Ускорение искомой точки (центра масс) получается, если разделить уравнение (5) справа и слева на полную массу системы – см. уравнение (2). Аналогично сумма импульсов силы (равная сумме импульсов системы, в отличие от их производной в уравнении (5)), деленная на полную массу системы, дает выражение для скорости центра масс. Координата центра масс (вектор!) определяется согласно уравнению (1). В случае непрерывного распределения масс суммы в числителе и знаменателе (1), (5) заменяются на соответствующие интегралы.

Удобной для многих расчетов системой явлется система центра масс (СЦМ, система движущаяся со скоростью центра масс), поскольку в ней суммарный импульс системы равен нулю (радиус-вектор центра масс в СЦМ постоянен и равен нулю, следовательно, равны нулю и его производные).