Радиус инерции

Что понимается под центробежными  и полярным моментами инерции тела, по записанным для их определения выражениям,  можно сформулировать самостоятельно.

 Перечисленные формулы вместе с теоремой Гюйгенса - Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей позволяют  аналитически определить моменты инерции большинства известных геометрических тел. 

Доказательство

         Для доказательства теоремы проведем на  рисунке через  одну из точек на оси  Cy   оси  z1  и  x1,  параллельные осям,  проходящим  через  центр тяжести ( центр масс)  тела -  точку С.   Расстояние между осями  обозначим  через  d  и определим моменты инерции тела относительно оси  Cz  и  параллельной  ей оси  z1.

 Далее выведем формулы для определения моментов инерции тел,  наиболее часто встречающихся  при  решении  задач механики.

Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Например (рис.32), если расстояния h от оси Oz каждого из одинаковых шаров А и В увеличить на одну и ту же величину, то положение центра масс системы не изменится, а распределение масс станет другим, и это скажется на движении системы (вращение вокруг оси Oz при прочих равных условиях будет происходить медленнее).

Рис.32

Поэтому в механике вводится еще одна характеристика распре­деления масс - момент инерции. Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

Заметим также, что момент инерции тела – это геометрическая характеристика тела, не зависящая от его движения.

Осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. что осевой момент инерции является ме­рой инертности тела при вра­щательном движении.

Согласно формуле момент инерции тела равен сумме момен­тов инерции всех его частей от­носительно той же оси. Для од­ной материальной точки, нахо­дящейся на расстоянии h от оси, .

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Оz называется линейная величина , определяемая равенством

,

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Оz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.