Теорема умножения вероятностей
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место
P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). (2.2)
Доказательство. Предположим, что из всевозможных элементарных исходов событию
благоприятствуют
исходов, из которых
исходов благоприятствуют событию
. Тогда вероятность события
будет
, условная вероятность события
относительно события
будет
.
Произведению событий и
благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию
и событию
одновременно, т.е.
исходов. Поэтому вероятность произведения событий
и
равна
.
Умножим числитель и знаменатель этой дроби на . Получим
.
Аналогично доказывается и формула
.
Пример. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.
Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов
P(A) = 5/35 = 1/7.
Но после того, как был взят первый холодильник с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе соотношения
Искомая вероятность будет
.
Если при наступлении события вероятность события
не меняется, то события
и
называются независимыми.
В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий
P(AB) = P(A)×P(B). (2.3)
Теорема умножения вероятностей легко обобщается на любое конечное число событий.
Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий, т.е.
P(ABC....LM) = P(A)×P(B/A)×P(C/AB) P(M/AB...L). (2.4)
Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.
