21. Теоретико-множественный смысл произведения натуральных чисел.

Понятие произведения может быть определено по-разному. Рассмотрим подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Если a, b – целые неотрицательные числа, то произведением ab называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)    ab = а + а + а + …+ а, если b > 1;

                                b слагаемых

2)  ab = а, если b = 1;

3)  ab = 0, если b = 0.

С теоретико-множественных позиций ab (b > 1) представляет число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

Рассмотрим подход, в основе которого лежит понятие декартового произведения множеств.

Пусть даны два множества: А = {}, B = {}. Найдем декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:               (),  (),  …,  (),

(),  (),  …,  (),

……………………………

(),  (),   …,  ().

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары.

Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении  равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел n и k. Таким образом, n() = n(A) n(B).

     При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В =  и   n() = n(A) n() = a  0 = 0.

С теоретико-множественной точки зрения произведение ab целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n(A) = a, n(B) = b.

  ab = n(A)  n(B) = n()

Действие, при помощи которого находят произведение чисел, называют умножением, а числа, которые умножают, называют множителями.

Умножение обладает коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью (переместительный, сочетательный и распределительный законы).

Рассмотрим коммутативность с точки зрения теоретико-множественного подхода, т.е. ab =ba.

Пусть  n(A )= a, n(B) = b. Тогда по определению произведения ab = n() . Но множества  =  равномощны: каждой паре (а;b) из множества   можно поставить в соответствие единственную пару (b;a) из множества , и наоборот.

Следовательно, n() = n(). Значит ab = ba.

Ассоциативность (ab)c = a(bc) вытекает из того, что множества () = ) равномощны, а значит n(()) = n()).

         Дистрибутивность рассматривают относительно сложения и вычитания. Рассмотрим относительно сложения: (a + b)c = ac + bc.

По определению произведения имеем (a + b)c = n((). Но , поэтому  n(() = n(, а значит и (a + b)c = ac + bc.

Объясним, почему 32 = 6?

Решение. Используя первое определение, произведение 32 можно записать в виде суммы 3 + 3. Возьмем различные множества К и С такие, что n(K) = n(C) = 3. Допустим К = {1, 2, 3}, C = { 4, 5, 6}. По определению нам нужно найти количество элементов в объединении КС. Т.к. КС = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то n(КС) = 6. Значит 32 = 6.

Используем второе определение. Пусть n(A) = 3, n(B) = 2. А = {a, b, c}, B = {q, w}. Найдем декартово произведение данных множеств:  = {(a, q), (a, w), (b, q), (b, w), (c, q), (c, w)}. Количество пар в декартовом произведении равно 6. Значит 32 = 6