20. Теоретико-множественный смысл суммы и разности натуральных чисел.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Если a = n(A), b = n(B) и AB = , то суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в объединении множеств А и В, т.е. a + b = n(A) + n(B) = n(AB).

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

Используя определение суммы целых неотрицательных чисел, покажем, что 2 + 4 = 6.

Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 4 элемента, такие, что n(A) = 2, n(B) = 4,  AB= . Например, А = {a, b}, B = {k, l, m, h}. Найдем объединение множеств А и В: АВ = {a, b, k, l, m, h}. Полученное множество содержит 6 элементов, т.е. n(АВ)=6. Согласно определению сложения, 2 + 4 = 6.

Сложение обладает коммутативностью и ассоциативностью (переместительный и сочетательный законы).

Покажем коммутативность. Для любых множеств А и В выполняется равенство АВ = ВА. Т.к. a = n(A), b = n(B) и AB = , то а + b = n(A) + n(B) = n(АВ) = n(ВА) = n(B) + n(A) = a + b.

Аналогично можно показать ассоциативность сложения, которая вытекает из равенства (AB)C = A(BC).

Действительно, a=n(A), b = n(B),c = n(C)  и  AB= ,  BC = ,  AC = , то (a + b) + c = n((AB)C) = n( A(BC)) = a + (b + c).

Разностью целых неотрицательных чисел     а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n(A)=a, n(B)=b, BA, т.е. а - b = n(AB). Это обуславливается тем, что А=В(АВ), т.е. n(A)=n(B) + n(AB).

Разность а – b целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда .

Действие, при помощи которого находят разность а – b, называется вычитанием, число а – уменьшаемым, b – вычитаемым.

Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и   АВ не пресекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A)=n(B) + n(AB), откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем n(AB) = а – b.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А=А, АА=, то а – 0 = а и а – а = 0.

Используя определения, покажем, что 8 – 5 = 3. Пусть даны два множества такие, что n(A) = 8, n(B) = 5. И пусть множество В является подмножеством множества А. Например,  А = {a, s, d, f, g, h, j, k}, B = {a, s, d, f, g}.

Найдем дополнение множества В до множества А:   АВ = {h, j, k}. Получаем, что n(AB) = 3.

Следовательно, 8 – 5 = 3.