Дифференциалы высших порядков

Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению

Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:

Итак,

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция . Тогда

где в общем случае не является постоянной величиной. Поэтому дифференциал от функции берем как дифференциал от произведения