Необходимое условие экстремума.
Если x0− точка экстремума функции f(x), то f′(x0)=0 или f′(x0) не существует т.е. x0 критическая точка этой функции.
Достаточные условия экстремума непрерывной функции.
1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности (x0−δ,x0+δ) критической точки x0, за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах (x0−δ,x0) и (x0,x0+δ) производная f′(x) имеет противоположные знаки, то x0−точка экстремума, причем, если f′(x)>0 при x∈(x0−δ,x0) и f′(x)<0 при x∈(x0,x0+δ), то x0 − точка максимума, а если f′(x)<0 при x∈(x0−δ,x0) и f′(x)>0 при x∈(x0,x0+δ), то x0 − точка минимума. Если же f′(x) при x∈(x0−δ,x0+δ), x≠x0, сохраняет знак, то точка x0 не является точкой экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в критической точке x0 и в некоторой ее окрестности. Если f″(x0)<0, то x0 - точка максимума функции f(x), если f″(x0)>0, то x0-точка минимума. Если же f″(x0)=0, то требуются дополнительные исследования.
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f(x) на данном отрезке [a,b] достигается или в критических точках или на концах отрезка.
