Теорема. Пусть функция 
дифференцируема в открытом промежутке 
и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка 
, что
 |
(13) |
, а на его концах принимает одинаковые значения: 
Тогда
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:
, из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная функции равна нулю: 
. Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. Следствие 2. Если
во всех точках некоторого промежутка , то 
в этом промежутке. Действительно, пусть
и 
– произвольные точки промежутка и 
. Применяя теорему Лагранжа к промежутку 
, получим 
Однако
во всех точках промежутка . Тогда 
Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение.
