13. Теорема Ролля

 Пусть функция    дифференцируема в открытом промежутке  , на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения:  . Тогда существует точка  , в которой производная функции    равна нулю:  .

 
Доказательство. Если    в промежутке  , то    во всех точках этого промежутка. Иначе наибольшее значение  M  функции    превышает ее наименьшее значение  m  в промежутке  . Поскольку на концах этого промежутка функция    принимает одинаковые значения, то по крайней мере одно из значений,  M  или  m, достигается во внутренней точке  c  промежутка  . Тогда по теореме Ферма  .