-
Гармонические колебания и их характеристики.
Колебанияминазываются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени, т.е. колебания - периодические изменения какой-либо величины.
В зависимости от физической природы различают механические и электромагнитные колебания. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, изменяющихся при колебаниях системы, повторяются через равные промежутки времени.
Период- это время, за которое совершается одно полное колебание:
,
где 
- число колебаний за время
.
Частота колебаний- число полных колебаний, совершенных за единицу времени.
Циклическая или круговая частота - число полных колебаний, совершенных за время 2(единиц времени):
.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых изменение величины происходит по закону синуса или косинуса (рис.1):
,
где 
- значение изменяющейся величины;
- амплитуда колебаний, максимальное значение изменяющейся величины;
- фаза колебаний в момент времени
(угловая мера времени);
0- начальная фаза, определяет значение в начальный момент времени при
,
.
Колебательная система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях:
-
Свободные незатухающие механические колебания.
Свободными или собственныминазываются колебания, которые совершает система около положения равновесия после того, как она каким-либо образом была выведена из состояния устойчивого равновесия и представлена самой себе.
Как только тело (или система) выводится из положения равновесия, сразу же появляется сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Эта сила называется возвращающей, она всегда направлена к положению равновесия, происхождение ее различно:
а) для пружинного маятника - сила упругости;
б) для математического маятника - составляющая сила тяжести.
Свободные или собственные колебания - это колебание, происходящие под действием возвращающей силы.
Если в системе отсутствуют силы трения, колебания продолжаются бесконечно долго с постоянной амплитудой и называются собственными незатухающими колебаниями.
Пружинный маятник - материальная точка массойm, подвешенная на абсолютно упругой невесомой пружине и совершающая колебания под действием упругой силы.
Рассмотрим динамику собственных незатухающих колебаний пружинного маятника.
- поIIзакону Ньютона,
по закону Гука,
где k– жесткость, 
;
или
.
Обозначим 
циклическая частота собственных колебаний.
-дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.
Решением этого уравнения является выражение: .
период колебаний пружинного маятника.
При гармонических колебаниях полная энергия системы остается постоянной, происходит непрерывный переход 
в
и наоборот.
Математический маятник- материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (рис.2).
Можно доказать, что в этом случае
Пружинный и математический маятники являются гармоническими осцилляторами (как и колебательный контур). Гармоническим осциллятором называется система, описываемая уравнением:
.
Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.
-
Свободные затухающие и вынужденные механические колебания.
Во всякой реальной системе, совершающей механические колебания, всегда действуют те или иные силы сопротивления (трение в точке подвеса, сопротивление окружающей среды и т.п.), на преодоление которых система затрачивает энергию, вследствие чего реальные свободные механические колебания всегда являются затухающими.
Затухающие колебания- это колебания, амплитуда которых убывает со временем.
Найдем закон изменения амплитуды.
Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы
сила трения пропорциональна скорости:
где r- коэффициент сопротивления среды; знак минус означает, что
всегда направлена противоположно скорости.
Согласно IIзакону Ньютона уравнение движения маятника имеет вид:
Обозначим: 
дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.
Решением этого уравнения является выражение:
,
где 
циклическая частота свободных затухающих колебаний,
0- циклическая частота свободных незатухающих колебаний,
- коэффициент затухания,
A0- амплитуда в начальный момент времени (t=0).
- закон убывания амплитуды.
С течением времени амплитуда убывает по экспоненциальному закону (рис. 3).
Время релаксации 
- это время, за которое амплитуда уменьшается в
раз.
.
Таким образом, 
есть величина, обратная времени релаксации.
Важнейшей характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания 
.
Логарифмическим декрементом затуханияназывается натуральный логарифм отношения двух амплитуд, отличающихся друг от друга по времени на период:
.
Выясним его физический смысл.
З
а время релаксации система успеет совершитьNколебаний:
,
т.е. - это величина, обратная числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.
Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности:
.
Добротность- физическая величина, пропорциональная числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз (рис. 4,
).
Вынужденныминазываются колебания, которые совершаются в системе под действием периодически изменяющейся внешней силы.
Пусть внешняя сила изменяется по гармоническому закону:
.
Кроме внешней силы на колеблющуюся систему действуют возвращающая сила и сила сопротивления, пропорциональная скорости колебаний:
Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Экспериментально установлено, что смещение отстает в своем изменении от вынуждающей силы. Можно доказать, что
где 
- амплитуда вынужденных колебаний,
- разность фаз колебаний и
,
;
.
Графически вынужденные колебания представлены на рис.5.
Е
сли вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону, то и сами колебания будут гармоническими. Их частота равна частоте вынуждающей силы, а амплитуда пропорциональна амплитуде вынуждающей силы.
Зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы
приводит к тому, что при некоторой, определенной для данной системы частоте, амплитуда достигает максимума.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы (к резонансной частоте) называется резонансом(рис.6).
-
Упругие волны.
Любое упругое тело состоит из большого числа частиц (атомов, молекул), взаимодействующих друг с другом. Силы взаимодействия проявляются при изменении расстояния между частицами (при растяжении возникают силы притяжения, при сжатии – отталкивания) и имеют электромагнитную природу. Если какая-либо частица внешним воздействием выводится из положения равновесия, то она потянет за собой в том же направлении другую частицу, эта вторая - третью, и возмущение будет распространяться от частицы к частице в среде с определенной скоростью, зависящей от свойств среды. Если частица была сдвинута вверх, то под действием верхних частиц, отталкивающих, и нижних, притягивающих, она начнет двигаться вниз, пройдет положение равновесия, по инерции сместиться вниз и т.д., т.е. будет совершать гармоническое колебательное движение, вынуждая к колебаниям соседнюю частицу, и т.д. Поэтому при распространении возмущения в среде все частицы совершают колебания с одинаковой частотой, каждая около своего положения равновесия.
Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется упругой волной. Этот процесс периодичен во времени и пространстве. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основное свойство всех волн - перенос энергии без переноса вещества.
Различают продольные и поперечные упругие волны.
Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (рис.7).
Для взаимного расположения колеблющихся точек характерны сгущения и разряжения.
При распространении такой волны в среде возникают сгущения и разряжения. Продольные волны возникают в твердых, жидких и газообразных телах, в которых возникают упругие деформации при сжатии или растяжении.
Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (рис. 8).
П
ри распространении поперечной волны в упругой среде образуются гребни и впадины. Поперечная волна возможна в среде, где деформация сдвига вызывает упругие силы, т.е. в твердых телах. На границе раздела 2-х жидкостей или жидкости и газа возникают волны на поверхности жидкости, они вызываются либо силами натяжения, либо силами тяжести.
Таким образом, внутри жидкости и газа возникают только продольные волны, в твердых телах – продольные и поперечные.
Скорость распространения волн зависит от упругих свойств среды и ее плотности. Скорость распространения продольных волн в 1,5 раза больше скорости поперечных.
Распространяясь от одного источника, обе волны приходят к приемнику в разное время. Измеряя разность времен распространения продольных и поперечных волн, можно определить место источника волн (атомного взрыва, эпицентра землетрясения и т.д.).
С другой стороны, скорость распространения волн в земной коре зависит от пород, залегающих между источником и приемником волн. Это является основой геофизических методов исследования состава земной коры и поиска полезных ископаемых.
Продольные волны, распространяющиеся в газах, жидкости и твердых телах и воспринимаемые человеком, называются звуковыми волнами. Их частота лежит в пределах от 16 до 20000 Гц, ниже 16 Гц - инфразвук, выше 20000Гц - ультразвук.
Соколов С.Я., член корреспондент АН СССР, в 1927-28 гг. обнаружил способность ультразвуковых волн проникать сквозь металлы и разработал методику УЗ дефектоскопии, сконструировав первый УЗ генератор на 109Гц. В 1945 году он первым разработал метод преобразования механических волн в видимые световые и создал ультразвуковой микроскоп.
Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства.
Геометрическое место точек, до которых распространились колебания к данному моменту времени t, называетсяфронтом волны.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.
Волновых поверхностей можно провести бесконечно много, но их вид для данной волны одинаков. Волновой фронт представляет собой волновую поверхность в данный момент времени.
В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае это совокупность параллельных плоскостей или концентрических сфер (рис. 9).
Волна называется плоской, если ее фронт представляет собой плоскость.
В
олна называетсясферической, если ее фронт представляет собой поверхность сферы.
В
олны, распространяющиеся в однородной изотропной среде от точечных источников, являются сферическими. На большом расстоянии от источника сферическая волна может рассматриваться как плоская.
Принцип Гюйгенса: каждая точка фронта волны (т.е. каждая колеблющаяся частица среды) является источником вторичных сферических волн. Новое положение фронта волны представляется огибающей этих вторичных волн.
Это утверждение высказал в 1690 году голландский ученый Гюйгенс. Справедливость его можно проиллюстрировать с помощью волн на поверхности воды, которые имитируют сферические волны, возникающие в объеме упругой среды.
а1в1- фронт в моментt1,
а2в2- фронт в моментt2.
Перегородив поверхность воды преградой с малым отверстием и направив на преграду плоскую волну, убеждаемся, что за преградой - сферическая волна (рис. 10).
Бегущиминазываются волны, которые переносят в пространстве энергию.
Получим уравнение бегущей плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а осьYсовпадает с направлением распространения волны.
Уравнение волны определяет зависимость смещения колеблющейся частицы среды от координат и времени.
Пусть некоторая частица среды В(рис. 11) находится на расстоянииуот источника колебаний, расположенного в точкеО. В точкеОсмещение частицы среды от положения равновесия происходит по гармоническому закону,
где t- время, отсчитываемое от начала колебаний.
В точке C
где
- время, за которое волна от точкиOдоходит до точкиC, 
- скорость распространения волны.
-уравнение плоской бегущей волны.
Это уравнение определяет величину смещения хколеблющейся точки, характеризуемой координатойу, в любой момент времениt.
Если плоская волна распространяется не в положительном направлении оси Y, а в противоположном направлении, то
Т.к. 
уравнение волны можно записать в виде
Расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны.
Длина волны- расстояние, на которое распространяется волна за период колебаний частиц среды, т.е.
.
Т.к. 
,
где 
- волновое число.
В общем случае 
.
