Каждое движение плоскости сохраняет расстояние по определению. Любой вид движений имеет свои инварианты можно рассматривать группу свойств движений.
Теорема: Множество движений плоскости 
с заданной композицией является группой, причем группой аддитивности.
Доказательство:
1. Докажем, что композиция двух движений есть движение:
Пусть 
и 
— движение (
) 
— преобразование. Рассмотрим образы любых двух точек при каждом движении.
т.е. 
Доказать: 
.
Действительно, т.к. — движение, следовательно 
. — тоже движение. Следовательно, 
. Следовательно, . Следовательно, 
— движение (). 
— расстояние между точками 
— (отношение) 
.
2. Докажем, что ассоциативность композиции раннее доказано, что композиция преобразования ассоциативна. Осталось доказать, что этим свойством в частности, обладает и движение.
Действительно, если рассмотреть образы двух точек 
и 
, то очевидно, что расстояние между ними не изменится, если выполнить преобразование 
или 
.
3. Покажем, что на множестве существует нейтральный элемент: 
— нейтральный элемент: тождественное преобразование 
.
4. Для любого 
существует 
такой, что 
. Действительно для любого 
существует симметричный элемент. Для 
; 
; 
— сама является для себя симметричным элементом, т.к. 
. Такие преобразования называются инвариантными 
.
Группа движений плоскости имеет подгруппа.
Теорема 2: Множество параллельных переносов плоскости есть подгруппа движений причем группа Абелева.
Доказательство: 
— группа.
Способы задания: любым вектором 
; направлением и расстоянием; парой соответствующих точек 
; в координатах
1. Компоненты двух переносов есть перенос 
— переносы. Рассмотрим 
. Композиция двух переносов — это перенос на сумму векторов, а сумма векторов это вектор, следовательно композиция переносов это перенос, Можно рассуждать иначе, в координатах 
— первый перенос 
— параллельный перенос.
2. Ассоциативность:
— переносы.
Рассмотрим 
3. Существует 
4. Для любого существует 
: 
Теорема 3: Множество поворотов с общим центром есть подгруппа группы движений причем группа Абелева.
Доказательство: Рассмотрим композицию двух поворотов с общим центром. 
. Докажем, что компоненты двух поворотов с общим есть поворот с тем же центром на сумму углов.
