Инвариантные точки и прямые. Классификация движений плоскости

Определение: Точка плоскости инвариантной (неподвижной), если при данном преобразовании она переходит в себя.

Пример: При центральной симметрии инвариантной является точка центра симметрии. При повороте инвариантной является точка центра поворота. При осевой симметрии инвариантной является прямая   — ось симметрии — это прямая инвариантных точек.

Теорема: Если движение не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одно инвариантное направление.

Пример: Параллельный перенос. Действительно, прямые, параллельные этому направлению инвариантных как фигура в целом, хотя не состоит из инвариантных точек.

Теорема: Если движется какой-то луч, луч переводит в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо симметрия относительно прямой содержащей данный луч.

Поэтому по наличию инвариантных точек или фигур можно провести классификацию движений.