22. Матрицы. Виды. Действия.

Матрицей – называется таблица чисел содержащая определенное количество строк и столбцов

Элементами матрицы являются числа вида ai j , где i- номер строки j- номер столбца

   i = 2 j = 3

Виды матриц.

1. Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы. (матрица 3х3).

2. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. aij = 0.

3. Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

4. Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

5. Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

6. Единичной матрицей (Е)называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

7. Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

8. Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

9. Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

Действия над матрицами.

Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен kaij

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Произведение матриц Что бы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.

Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.

- произведение существует;

- произведение не существует

последнюю строчку во II матрицы умножать не с чем, т.е. произведение не существует

Транспонирование матрицы называется операция замены элементов строки на элементы столбца:

Возведением в степень называется последовательное перемножение матрицы саму на себя:

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

ОпределениеМатрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А-1*А=1

Свойство матрицы

1. Переместительный закон относительно сложения

А+В = В+А – выполняется

2. Распределительный закон - выполняется:

3. Переместительный закон относительно умножения - не выполняется

Пример 17 

произведение не существует