Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке.
Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ),определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) - F(a)).
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,
формула Ньютона-Лейбница.
Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому
Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.
Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее - значение нижнего предела a и вычисляется разностьF(b) - F(a). Полученное число и будет определённым интегралом.
При a = b по определению принимается
СВОЙСТВА:
1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.
Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:
2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,
На основании формулы последнее равенство означает равенство интегралов
и
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.
4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.
5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если
то
6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.
7. (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.
8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если
9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство
можно почленно интегрировать, т.е.
10. Интегрирование по частям.
11. Метод подстановки.
http://www.math24.ru/свойства-определенного-интеграла.
http://function-x.ru/integral4.
Все тут!
