16.Пример

Исследуйте функцию  и постройте ее график.

Решение.

1. Область определения функции .
2. ,  и . Следовательно, данная функция ни четная, ни нечетная.
3. Функция непрерывна в области определения, как частное двух непрерывных функций. Исследуем точку :

, .

Поэтому  - точка разрыва функции с бесконечным скачком, а прямая  - вертикальная асимптота графика функции.

1. Вычислим пределы  при .

Так как , то . Следовательно, прямая  - левосторонняя горизонтальная асимптота графика.

С другой стороны, .

Правосторонней горизонтальной асимптоты не существует.

Будем искать правостороннюю наклонную асимптоту.

, так как уже был вычислен   . При    нет асимптоты  ни горизонтальной, ни наклонной.

1. Находим .

Производная равна нулю в точке .

Составляем таблицу.

.

1. Найдем вторую производную.

.

 не обращается в нуль ни в одной точке, так как ,  при всех . Но  не существует в точке .

1. Точка  не входит в область определения. Поэтому график не пересекает ось .

Уравнение  не имеет решений, так как  при всех . Следовательно, ось  график тоже не пересекает. Функция отрицательна при  и положительна при . Найдем несколько дополнительных точек для построения графика.