Во множестве действительных чисел нельзя решить уравнение 
. Расширяя действительные числа, введем число 
- мнимая единица: 
. Тогда, уравнение будет иметь решение 
.
П.1. Алгебраическая форма комплексного числа
Определение. Комплексным числом называется число 
, где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается 
; 
называется мнимой частью комплексного числа и обозначается 
. Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.
Пример. 
. 
, 
.
Определение. Модулем комплексного числа называется величина 
.
Определение. Аргументом комплексного числа называется число: 
. Главное значение аргумента обозначается: arg z=
или 
.
Пример. 
Определение. Два комплексных числа 
, 
называются равными 
, если 
, 
.
Определение. Комплексное число равно 0, если 
и 
.
Определение. Число 
называется сопряженным комплексному числу ,причем 
.
Пример. 
; 
.
П.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Комплексное число однозначно определяется парой действительных чисел 
поэтому можно установить взаимно однозначное соответствие между всевозможными точками плоскости и всевозможными комплексными числами.
Тогда, комплексное число можно изобразить с помощью точки плоскости, координаты которой 
- абсцисса, - ордината. Это геометрическая, интерпретация комплексного числа.
Рис. 1.
Тогда ось OX – где откладываются действительные части числа 
называется действительной осью.
OY – где откладывают мнимые части числа называется мнимой осью.
Такую плоскость будем называть «комплексной плоскостью».
Действительной и мнимой частям комплексного числа можно также поставить в соответствие координаты радиус-вектора 
.
Рис. 2.
Т.е. комплексное число можно изобразить с помощью вектора 
.
Тогда, длина вектора 
- есть модуль комплексного числа 
; а угол 
есть аргумент комплексного числа:
.
Из определения модуля и аргумента следует, что если , то 
, 
.
Тогда, любое комплексное число, отличное от нуля, можно представить в тригонометрической форме:
Пример. Представить комплексное число в тригонометрической форме:
1) 
2) 
П.3. Показательная форма комплексного числа.
и 
связаны формулой Эйлера: 
.
Тогда от тригонометрической формы комплексного числа можно перейти к показательной форме:
.
Тогда 
Складывая и вычитая, легко получить
.
Примеры. Записать комплексное число в показательной форме.
1) 
2) 
П.4. Алгебраические операции над комплексными числами.
Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что 
и т.д.
1) Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме
Пусть 
.
Замечание. 
2) Рассмотрим операции над комплексными числами в тригонометрической форме:
Пусть 
.
Формула Муавра: .
.
имеет 
позиций в области комплексных чисел.
Из формулы для 
видно, что все различных значений величины имеют один и тот же модуль равный 
. А так как 
, то точки соответствующие значениям , являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса 
с центром в начале координат.
3) алгебраические операции в показательной форме:
.
Примеры.
1) 
- в алгебраической форме.
,
- тригонометрическая форма.
.
.
.
П.4. Линии и области в комплексной плоскости
Чтобы построить линию в комплексной плоскости нужно перейти к записи уравнения этой линии в действительных координатах: z=x+iy, x=Rez,y=Imz, IzI=
.
Примеры.
1. Построить линию, заданную уравнением Re(z+2)=3. Перейдем к декартовым координатам, получим Re(x+iy+2)=3Þx+2=3Þx=1. Это уравнение прямой параллельной мнимой оси.
2. Построить линию, заданную уравнением Iz-3iI=2. Перейдем к декартовым координатам, получим Ix+iy-3iI=2Þ
Это уравнение окружности с центром в точке (0; 3) и радиуса равного 2.
3. Записать уравнение линии в комплексной форме: 
. Выразим декартовы координаты через комплексную переменную, получим 
или 
Это уравнение прямой с выколотой точкой (0; 0) в комплексной форме.
Чтобы построить область в комплексной плоскости нужно в неравенстве, определяющем эту область заменить комплексную переменную zдействительными переменными x и y.
Примеры.
1. Определить область, заданную неравенствами: 2£ Im(z-i)£3. Перейдем к декартовым координатам, получим 2£ y-1£3Þ3£ y£ 4. Это область, заключенная в полосе между прямыми y=3 и y=4.
2. Определить область, заданную неравенством Iz-iI<Iz+3I. Перейдем к декартовым координатам, получим 
Это часть плоскости, расположенная выше прямой y=-3x-4.
3. Определить область, заданную неравенством Iz-3+2iI>2. Это часть плоскости, расположенная вне круга 
