Эллипс

Определение. Эллипс - это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением .

Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Чертеж фигуры эллипс

F1 , F2 – фокусы . F1 = ( c ; 0); F 2 (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

a2 = b 2 + c 2.

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2*(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении его с горизонтальной осью, r1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1+ r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

a 2 = b 2 + c 2

r1 + r2 = 2 a .

Эксцентриситет фигуры эллипс

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .

е = с/ a .

Т.к. с < a , то е < 1.

Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия , а величина 1 – k = ( a – b )/ a называется сжатием.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e 2 .

Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х 1 , у 1 ) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне его.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей фигуре эллипс верны соотношения :

r 1 = a – ex , r2 = a + ex .

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex . Теорема доказана.

Директрисы фигуры эллипс

С фигурой эллипс связаны две прямые, называемые директрисами . Их уравнения:

x = a / e ; x = - a / e .

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на границе фигуры эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину фигуры эллипс, заданного уравнением : 

•  Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

•  Координаты левого фокуса: c2 = a 2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

•  Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение границы фигуры эллипс, если его фокусы F 1 (0; 0), F2 (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение границы имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2 c = , таким образом, a2 – b2 = c2 = 1/2

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = 

Итого искомое уравнение имеет вид: .