Несобственные интегралы на конечном промежутки

признак сходимости Дирихле:
1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b):;
2. g(x) монотонно стремится к нулю при : .
Тогда интеграл сходится.
Применим, например, признак Дирихле к . Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.

Несобственный интеграл первого рода

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть функция $y=f\left( x \right)$ непрерывна на промежутке $\left[ a;\ +\infty \right)$ . Если существует конечный предел $\underset{b\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ , то он называется несобственным интегралом первого рода и обозначается $\int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)dx}$ .

Таким образом, по определению

$\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$

Если такой предел существует, то говорят, что несобственный интеграл $\int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)dx}$ сходится. В противном случае, если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл является расходящимся.

Аналогичным образом задается несобственный интеграл на промежутке $\left( -\infty ;\ b \right]$ .

Несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-\infty }^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}$

Такой несобственный интеграл сходится только в том случае, когда оба несобственных интеграла в правой части являютсясходящимися.

Задание	Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. $\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}$
Решение	Заданный интеграл является несобственным интегралом первого рода, так как на промежутке интегрирования $\left[ 1;\ +\infty \right)$ подынтегральная функция $f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}$ является непрерывной, но один из пределов интегрирования равен бесконечности. Тогда, согласно определению, имеем: $\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1}^{a}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=-\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left. \frac{1}{x} \right\|_{0}^{a}=-\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{a}-1 \right)=-\left( 0-1 \right)=1$
Ответ

09.06.2016; 02:20

хиты: 115

рейтинг:0