Несобственные интегралы от неотрицательных функций

    Установим признаки сходимости для несобственных интегралов от неотрицательных функций. 
    Лемма1. Если функция f неотрицательна на полуинтервале [a,b), то для сходимости интеграла f(x)dx необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов f(x)dx,   [a,b),было ограничено сверху, т. е. чтобы существовала такая постоянная c > 0, что для всех   [a,b) выполнялось бы неравенство

Положим

Если a <  < ' < b, то

f(') = f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx > f(x)dx = (),

ибо в силу неотрицательности функции f имеет место неравенство f(x)dx > 0, т. е. функция () возрастает на полуинтервале [a,b). Существование несобственного интеграла f(x)dxозначает существование конечного предела

() = f(x)dx,

что имеет место тогда и только тогда, когда функция ограничена сверху (см. теорему 4 в п. 6.11), а это в силу (29.15) равносильно условию (29.14).  
    Замечание. При доказательстве леммы 1 было показано, что в случае неотрицательности функции f функция (см. (29.15)) возрастает на [a,b) и, следовательно, всегда имеет при конечный или бесконечный, равный +, предел в зависимости от того, ограничена она или нет. Если функция неограничена на [a,b), то

f(x)dx () =  +,

и в этом случае пишут

f(x)dx = +

(как мы уже и поступали в примерах п. 29.1).

    Теорема1 (признак сравнения). Пусть

    Тогда: 
    1) если интеграл f(x)dx сходится, то сходится и интеграл g(x)dx; 
    2) если интеграл g(x)dx расходится, то расходится и интеграл f(x)dx. 
    Следствие 1. Пусть функции f и g неотрицательны на промежутке [a,b), g(x)0 при всех x  [a,b) и существует конечный или бесконечный предел

    Тогда: 
    1) если интеграл g(x)dx сходится и 0 < k < +, то и интеграл f(x)dx сходится; 
    2) если интеграл g(x)dx расходится и 0 < k < +, то и интеграл f(x)dx расходится. 
    Следствие 2. Если функции f(x) и g(x) эквивалентны при xb, т. е. f(x) = (x)g(x), a < x < b, то интегралы f(x)dx и g(x)dx одновременно сходятся или расходятся.