Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением r = r(θ), α ≤ θ ≤ β (см. Рис. 3), причем функция r(θ) непрерывна и неотрицательна на сегменте [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором.
Докажем следующее утверждение. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру, площадь P которой может быть вычислена по формуле
(2)
Доказательство. Рассмотрим разбиение T сегмента [α, β] точками α = θ0 < θ1 < ... < θn = β и для каждого частичного сегмента [θi-1, θi] построим круговые секторы, радиусы которых равны минимальному ri и максимальному Ri значениям r(θ) на сегменте [θi-1, θi]. В результате получим две веерообразные фигуры, первая из которых содержится в криволинейном секторе, а вторая содержит криволинейный сектор (эти веерообразные фигуры изображены на Рис. 3). Площади 
и 
указанных веерообразных фигур равны соответственно 
и 
. Отметим, что первая из этих сумм является нижней суммой s для функции 
для указанного разбиения T сегмента [α, β], а вторая сумма является верхней суммой S для этой же функции и этого же разбиения. Так как функция интегрируема на сегменте [α, β], то разность 
может быть как угодно малой. Например, для любого фиксированного ε > 0 эта разность может быть сделана меньшеε/2. Впишем теперь во внутреннюю веерообразную фигуру многоугольник Qi с площадью Si, для которого 
, и опишем вокруг внешней веерообразной фигуры многоугольник Qd площадью Sd, для которого 
*. Очевидно, первый из этих многоугольников вписан в криволинейный сектор, а второй описан вокруг него. Так как справедливы неравенства
(3)
то, очевидно, Sd - Si < ε. В силу произвольности ε, отсюда вытекает квадрируемость криволинейного сектора. Из неравенств (3) вытекает справедливость формулы (2).
