Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где  непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с  равенством . Если

1) 

2)  и  непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения  не выходят за пределы отрезка  то

Доказательство. Пусть –первообразная для функции, то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

Покажем, что функция  является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

Пример.

при x=0  при x=ln2 

=

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид 

Пример.