Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).
Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента 
интеграл вида 
является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию
, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство 
.
Действительно, запишем приращение функции 
, соответствующее приращению аргумента 
и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:
где 
.
Перепишем это равенство в виде 
. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при 
, то получим 
. То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как 
, где С – произвольная постоянная.
Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: 
, следовательно, 
. Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b): 
, то есть 
. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница 
.
Приращение функции принято обозначать как 
. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид 
.
Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.
