Т е о р е м а 1. Если функция 
непрерывна на 
, то она интегрируема на .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция непрерывна на , то она равномерно непрерывна на и, следовательно, 
такое, что как только разбит на части с 
, то все колебания 
. Отсюда
.
В силу произвольности 
заключаем, что 
, и по теореме 1 § 6.6 функция интегрируема.
Т е о р е м а 2. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что 
, иначе функция постоянна и теорема тривиальна.
Так как 
, то наша функция ограничена на 
. Введем разбиение 
отрезка 
. Так как в данном случае 
, то
,
. Выберем теперь 
; тогда
,
и по теореме существования (теорема 1 § 6.6) заключаем, что интегрируема. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 1. отметим, что монотонная функция может иметь счетное множество точек разрыва. Например, функция 
, монотонно возрастает на 
, имеет счетное множество точек разрыва. Следовательно, по теореме 2 она интегрируема.
З а м е ч а н и е 2. Если интегрируема на 
, то 
также интегрируем.
В самом деле, 
и 
из 
имеем
. (1)
Если 
, 
- колебания , соответственно , на , то из (1) следует, что 
и
.
Так как интегрируема, то
,
но тогда
,
и, следовательно, интегрируем.
