Докажем следующую основную теорему.
Теорема. Непрерывная на сегменте [a, b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.
Доказательство. Пусть дано любое ε > 0. В силу равномерной непрерывности функции f(x) на сегменте [a, b] для положительного числаε/(b - a) можно указать такое δ > 0, что при разбиении T сегмента [a, b] на частичные сегменты [xi-1, xi], длины Δxi которых меньше δ, колебание ωi функции f(x) на каждом таком частичном сегменте будут меньше ε/(b - a) (см. следствие из теоремы о равномерной непрерывности), Поэтому для таких разбиений T
Следовательно, для непрерывной на сегменте [a, b] функции f(x) выполнены достаточные условия интегрируемости.
