Суммы Дарбу

Итак, пусть функция $f\left(x\right)$ – ограничена на $\left[a;b\right]$ и существует разбиение этого отрезка $T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}$ . Это значит, что $f$ –ограничена на любом $\triangle _{i}=\left[x_{i-1};x_{i}\right],$ $i =\overline{1,n}$ . Отсюда, по второй теореме Вейtрштрасса, $\exists M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f(x)},$ $\exists m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)},$ $i=\overline{1,n}$ .

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка $[a;b]$ на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки $\xi _{i}$ так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной. (см. задачу о вычислении площади криволинейной трапеции)

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждоминтервале $\triangle _{i}$ разбиения T точку $\xi _{i}$ будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота $f\left(\xi _{i}\right)$ была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция $\inf f(x)$ : $m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)}.$ Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов $\triangle _{i}$ разбиения T мы выбираем точку $\xi _{i}$ так, чтобы значение $f\left(\xi _{i}\right)$ было максимальным: $M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f\left(x\right)}$ . Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу. Теперь дадим более строгое определение.

Определение

$\underbrace{S_{T}=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}$ – верхняя сумма Дарбу

$\underbrace{s_{T}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}$ – нижняя сумма Дарбу

Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек $\xi _{i}.$

{Свойство}

Свойство 1.

Для любой выборки $\xi =\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}$ и разбиения $T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}$ справедливы неравенства:

$s_{T}\leq \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)\leq S_{T}$ . (*)

Док-ва
$\square$ Так как $\forall\xi _{i}\in \triangle _{i}$ выполняются неравенства $m_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\leq M_{i}$ . Домножим все части на $\triangle x_{i}$ .

$m_{i}\triangle x_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}\leq M_{i}\triangle x_{i},i=\overline{1,n}$

Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:

$\underset{s_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}}\leq\underset{\sigma _{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}}}\leq \underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}}$ (**)

Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы $\sigma _{T}$ утверждения (*) и (**) равносильны. $\blacksquare$

Свойство $2^{\circ}$ .

При T – фиксированном, справедливы равенства: $S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right),$ $s_{T}=\inf \sigma_{T}\left(\xi ,f\right)$ .

Док-ва:

Докажем первое равенство. Необходимо показать, что $S_{T}$ – минимальный предел верхних границ для интегральной суммы(см. опр. точной верхней и нижней границ множества). Т.е. нужно показать следующее: $\forall \varepsilon > 0 \exists {\xi }'$ : $S_{T}-\varepsilon < \sigma _{T}\left({\xi }',f\right)$ . (*)

Т.к. $M_{i}=\underset{x\in \triangle_{i}}{\sup f\left(x\right)}$ , то

$\forall \varepsilon > o \ \exists\ {\xi }'_{i}\in \triangle _{i}$ :

$M_{i}-\frac{\varepsilon }{b-a}< f\left({\xi _{i}}'\right)$

$0<M_{i}-f\left({\xi _{i}}'\right)< \frac{\varepsilon }{b-a}, i=\overline{1,n}$

Домножим на $\triangle x_{i}$ :

$0\leq M_{i}\triangle x_{i}-f\left({\xi _{i}}'\right)\triangle x_{i}< \frac{\varepsilon}{b-a}\triangle x_{i}$

Просуммируем i- ые элементы:

$0\leq\underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} M_{i}\triangle x_{i}}}-\underset{\sigma _{T}\left({\xi _{i}}',f\right)}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left({\xi _{i}}'\right)\triangle x_{i}}}<$ $\underset{\varepsilon }{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} \frac{\varepsilon }{b-a}\triangle x_{i}}}$

$0\leq S_{T}-\sigma _{T}\left({\xi }',f\right)< \varepsilon$ (**)

Неравенства (*) и (**) равносильны.

Вывод: получили, что $S_{T}$ – минимальный предел верхних границ дляинтегральной суммы $\Rightarrow S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)$ .

Аналогично доказывается второе утверждение. $\blacksquare$

Свойство $3^{\circ}$ .

Если разбиение $T_{2}$ – продолжение разбиения $T_{1}$ , то $s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}\leq S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}}$ (*), то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается

Свойство $5^{\circ}$ .

Существуют числа $\underline{I}=\sup s_{T},$ $\bar{I}=\inf S_{T},$ называемые верхним и нижниминтегралами Дарбу, такие, что для любых разбиений ${T}',{T}''$ отрезка $\left[a;b\right]$ : $s_{{T}'}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}''}}$