Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на nчастичных интервалов точками
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке 
и составим сумму (интегральная сумма) 
.
Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: 
, то функция f(x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b]. Предел этой суммы
называется определенным интегралом от f(x) по интервалу [a, b] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа 
существует такое число 
, что при любом разбиении интервала [a, b] на частичные интервалы, длины которых меньше 
.
и при любом выборе промежуточных точек 
выполняется неравенство
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.
