Интегрирование биноминального дифферинциала

Дифференциальным биномом называют выражение вида

$x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx,$

где a и b – любые константы, а показатели степеней m, n и p – рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида $R (x,\sqrt[r]{x}) dx$ , где r – наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой $t=\sqrt[r]{x}$ .
2.Второму случаю соответствует целое число $\frac{m+1}{n}$ . Сделаем подстановку
$z = x^{n}$ и положим для краткости $\frac{m+1}{n}-1=q$ , получим

$\int x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx=\frac{1}{n}\int (a+bz)^{p} z^{q}dz$

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида $R (z,\sqrt[s]{a+bz})$ , где s – знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

$t=\sqrt[s]{a+bz}=\sqrt[s]{a+bx^{n}}.$

3. Третьему случаю соответствует целому число $(\frac{m+1}{n}+p)$ . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида $R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}})$ , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

$t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}.$

В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

Примеры

1)Вычислить интеграл $I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2}$ . Здесь $m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2$ . Так как p – целое, значит используем подстановку из первого случая

$x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2}$

подставим:

$I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt =$ $6 \int (t^{4} - 2t^{2} + 3 - \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt =$ $\frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} - 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} - 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C$

2) Вычислить интеграл $I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx$ . Здесь $m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}$ . Так как $\frac{m+1}{n} = 3$ – целое (второй случай).

$t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}},$ $x = (t^{2} - 1)^{\frac{8}{2}},$ $dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt$

подставим:

$I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt =$ $\frac{3}{5}t^{6} - 2t^{3} + 3t + C$ ,

$t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}$

3) Вычислить интеграл $I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx$ . Графиком подынтегральной функции будет:

В данном случае $m=5,n=2,p=-\frac{1}{2}$ , так что $\frac{m+1}{n}=3$ (второй случай). Сделав подстановку

$t=\sqrt{1-x^{2}},$ $x=\sqrt{1-t^{2}},$ $dx=-\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{2}}},$

будем иметь

$-\int (1-t^{2})^{2} dt=$ $-\int dt+2\int t^{2}dt-\int t^{4}dt=$ $-t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=$ $-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{ (1-x^{2})^{3}} -\frac{\sqrt{ (1-x^{2})^{5} }}{5}+C.$

4) Вычислить интеграл $I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx$ . Здесь $m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2}$ , так что $\frac{m+1}{n}+p=-1$ (третий случай) Сделав подстановку

$t=\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b},$ $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{t^{2}-b}},$ $dx=-\frac{\sqrt{a}tdt}{\sqrt{ (t^{2}-b)^{3} }},$

будем иметь

$I=\int - (\frac{dt}{a}) =$ $-\frac{t}{a}+C=$ $-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C.$

08.06.2016; 22:23

хиты: 86

рейтинг:0