Функция 
называется первообразной для функции 
на промежутке 
, конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
Последнее равенство можно записать через дифференциалы:
или 
Пример
Функция 
является первообразной для функции 
, так как
Первообразная имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией.
(О бесконечном множестве первообразных для функции)
Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция 
, где 
- произвольная постоянная, также будет первообразной для функции
на рассматриваемом промежутке.
Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.
(Об общем виде первообразной для функции)
Если функции и 
- две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть
Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции , может быть представлена в виде 
.
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_9_1.php
Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом 
. То есть
Знак 
называется интегралом, 
- подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а 
- переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называетсяинтегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
