Эквивалентность функций

Определение 4. Функция f называется эквивалентной функции g (или асимптотически равной ей) при

xx0, если

(x) = 1.

В этом случае пишут

f ~ g, xx0

Пусть x → 0. Тогда справедливы следующие соотношения эквивалентности бесконечно малых функций.

Приведенная таблица допускает более широкое толкование, а именно: если – бесконечно малая функция при x → a, то

Определение :
Если $\exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})$ в которой определены $f,g$ и $h:f(x)=g(x)h(x)$ ,
причём $lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f$ и $g$ – эквивалентные при $x\rightarrow x_{0}$ и пишут $f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g$
$lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1$
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g –бесконечно малые или бесконечно большие при $x\rightarrow x_{0}$

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$ были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$
Положив   $\beta-\alpha =\gamma$ , будем иметь $\frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }$
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если    $\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1$ , то $\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0$ , то есть $\gamma$ есть бесконечно малая высшего порядка, чем $\alpha$ и   $\beta \sim \alpha$ . Обратно, если дано, что $\beta \sim \alpha$ , то $\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0$ , а тогда $\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1$ .
С помощью этого критерия, например, видно, что при $x\rightarrow 0$ бесконечно малая   $sin\: x$ эквивалентна $x$ , а $\sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x$ .
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости $\left [ \frac{0}{0} \right ]$ . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых   $\frac{\beta }{\alpha }$ . Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

ПРИМЕР:

3) Найдем [ln(1 + x)/sin 2x]. Поскольку

ln(1 + x) ~ x, sin 2x ~ 2x, x0,

то

[ln(1 + x)/sin 2x] = x/2x = 1/2.

1) $lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=$ $\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}$ $\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^2}=$ $\frac{1}{4}$

2) $lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=$ $\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}$ $=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=$ $lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=$ $lim_{t\rightarrow 0}1=1$

08.06.2016; 19:20

хиты: 125

рейтинг:0