Задачи оптимизации производства. Комбинация ресурсов, минимизирующая издержки фирмы (геометрическое решение)

Доходом (выручкой) R фирмы в определенном временном перио­де (например, в определённом году) называется произведение у общего объема у выпускаемой фирмой продукции на (рыночную) цену р0 этой продукции.

Издержками С фирмы называют общие выплаты фирмы в опре­делённом временном периоде за все виды затрат C = p1x1 + p2x2, где х1 и х2 - объемы затрачиваемых (используемых) фирмой ресурсов (факторов производства), p1 и р2 - рыночные цены на эти ресурсы (факторы производства).

Прибылью PR фирмы в определённом временном периоде назы­вается разность между полученным фирмой доходом R и ее издер­жками производства:

PR = R - С,

или

PR(x1 х2) = p0f (x1, х2) - (p1x1+ р2х2).

Последнее равенство есть выражение прибыли фирмы в терми­нах затрачиваемых (используемых) ресурсов. Напомним, что у = f(x1,x2) - производственная функция фирмы, которая выражает об­щий объем у выпускаемой фирмой продукции через объемы х1 и х2 затрачиваемых (используемых) ресурсов.

В теории фирмы принято считать, что если фирма функциони­рует в условиях чистой (совершенной) конкуренции, на рыночные цены p0, p1 и р2 она влиять не может. Фирма "соглашается "с ценами p0, p1 и р2. Случаи функционирования фирмы в условиях чистой монополии, монополистической конкуренции и олигополии специ­ально рассматриваются в рамках курса по микроэкономике.

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли пу­тем рационального распределения затрачиваемых (используемых) ре­сурсов. Формально задача максимизации прибыли в определённом временном периоде имеет вид:

PR → max. Такая постановка задачи максимизации зависит от того, какой конкретно временной проме­жуток (долговременный или краткосрочный) предшествует перио­ду, в котором фирма максимизирует свою прибыль.

В случае долговременного промежутка фирма может свободно выбирать любой вектор х = (x1,x2) затрат из пространства затрат (формально из неотрицательного ортанта x1> 0, x2> 0 плоскости 0x1, х2, поэтому задача максимизации прибыли в случае долговре­менного промежутка имеет следующий вид:

p0f (x1, х2) - (p1x1+ р2х2) = PR(x1,х2) → max, при

условии, что х1>0, х2>0 (постановка задачи в терминах затрачиваемых ресурсов).

В случае краткосрочного промежутка фирма должна учитывать неизбежные лимиты на объемы затрачиваемых (используемых) ею ресурсов, которые формально могут быть записаны в виде нелиней­ного, вообще говоря, неравенства

g(x1, х2)<b.

Следова­тельно, задача максимизации прибыли для краткосрочного проме­жутка имеет вид задачи математического программирования:

p0f(x1, х2) - (p1x1+ р2х2) = PR(x1,х2) → max при условии, что

g(x1, х2)<b,

х1>0, х2>0

(постановка задачи в терминах затрачиваемых ресурсов).

Линия уровня функции С =p1x1+ р2х2, издержек производства называется изокостой (см. рис. 11.1).

В связи с тем, что по экономическому смыслу х1>0, х2>0 (ибо х1 и х2- это объемы затрачиваемых (используемых) ресурсов), строго говоря, изокоста есть отрезок прямой, попадающий в неотрица­тельный ортант плоскости Оx1х2. Таким образом, изокосты - это отрезки А0В0, А1В1, А2В2... (см. Рис. 17). Отрезки А0В0, А1В1, А2В2 параллельны. Отрезок А1В1 расположенный "северо-восточнее" от­резка A0B0, соответствует большим издержкам производства.

Рис. 17. Объемы, затрачиваемых ресурсов

Следовательно, если для отрезка А2В2 издержки производства С равны величине С2, т. е. С= С2, для отрезкаА1В1 издержки производства С= С1, для отрезка A0B0 издержки производства С= С0, то С0 < С1 < С2 Верно и обратное, т. е. если С0 < С1 < С2, то отрезок А2В2, соответствующий издержкам производства С2, расположен "северо-восточнее" параллельного ему отрезка A1B1, соответствующего из­держкам производства С1. Аналогично, отрезок А1В1 расположен "се­веро-восточнее" параллельного ему отрезка А0В0, соответствующего издержкам производства С0. Для отрезка А0В0 имеем следующее ана­литическое представление:

для отрезка А0В0 : С0 = р1х1 + р2 х2, где х1 ³ 0, х2 ³ 0,

для А1В1 : С1 = р1х1 + р2 х2 , где х1 ³ 0, х2 ³ 0,

для А2В2: С2 = р1 х1 + р2 х2 , где х1 ³ 0, х2 ³0.

Максимизация прибыли

Пусть q – количество реализованного товара, R(q)- функия дохода, C(q)- функция затрат на производство товара. Прибыль от реализации товара равна

PP(q) = R(q)-C(q).

Из микроэкономики известно, что для того, чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны, т. е. MR(q) = MC(q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции прибыли следует, что PR' (q) = 0, откуда и следует указанное равенство. Точка q0, удовлетворяющая равенству PR'(q) = 0 является подозрительной на экстремум. Согласно второму достаточному условию существования экстремума, если PR''(q0)<0, то q0– точка максимума функции P(q). Данное условие выполнится, если, например, PR''(q)<0, а C''(q)>0, что согласуется с экономической теорией.

 

Пример 1.

Пусть доход описывается функцией R(q) = 100q-q2, а затраты C(q) = q3-37q2+169q+4000. Тогда прибыль определяется формулой

PR(q) = - q3 + 36q2- 69q - 4000.

PR'(q) = -3q2 + 72q - 69=0,

или q2-24q+23=0. Корни уравнения q1 = 1, q2 = 23.

PR''(q) = -6q+72,

PR''(1) = 66,

PR''(23) = -66<0,

следовательно, при q = 23 PRmax = 1290

Комбинация ресурсов (факторов производства), минимизирующая издержки при фиксированном (общем) объёме выпуска

Для случая долговременного промежутка рассмотрим задачу ми­нимизации издержек производства прификсированном объеме у вы­пускаемой продукции (т. е. рассмотрим задачу 2):

p1x1+p2x2=C(x1, x2)-> min (16)

при условии, что y=f (х1, х 2)

(x1>0,х2>

Геометрически решение задачи (16), (17) представлено на (Рис. 18): нужно перемещаться по изокостам на "юго-запад" (ибо имеем задачу ми­нимизации) до тех пор, пока они продолжают иметь общие точки с изоквантой, соответствующей фиксированному объему у. Ясно, что решением задачи минимизации издержек будет общая точка (х10(у),х20(у)) изокосты и фиксированной изокванты. Эта точка ка­сания зависит от объема у (поэтому и написано(х10(у),х20(у)). Если объем у изменится, то изменится и точка (х10(у),х20(у)). Множество точек (х10(у),х20(у)), соответствующих различным объемам у выпус­каемой продукции, образуют линию L (см. Рис. 18).

Рис. 18. L - линия развития производства

Решим задачу (16), (17) формально с помощью функции Лагранжа

L(x1,х2,l) = p1x1+ p2x2 + l (y - f (x1,х2)).

Для функции Лагранжа выписываем систему уравнений

, , 

или в развернутом виде , ,

Критическая точка (х10(у),х20(у), l0(у)) функции Лагранжа, удов­летворяющая системе (18) и взятая без последней координаты l0(у), т. е. точка (х10(у),х20(у)), и есть решение задачи (16), (17) минимиза­ции издержек при данном фиксированном объеме производства у. Подставив точку (х10(у),х20(у), l0(у)), в первые два уравнения системы (18), получим два тождества. Поделив почленно первое тождество на второе, получим, очевидно, выражение (3)

 (3)

(множитель l0(у) со­кратится. Получили аналитическое обоснование того, что изокоста и изокванта касают­ся в точке (х10(у),х20(у)) (см. рис. 11.9). Характер взаимосвязи между критической точкой функции Лагранжа без последней координаты и решением задачи (16), (17) минимизации может быть прокоммен­тирован здесь подобно тому, как это было сделано в разделе 4 для задачи максимизации. Критическая точка (х10(у),х20(у), l0(у)) является решением задачи минимизации издержек.

В разделе 2 в точке локального рыночного равновесия (х10,х20) был определён объём производства y0=f(х10,х20).Если в ограничении (17) положить у=у0, то несложно показать, что х10(y0)=х10, х20(y0)=х20, а также l0 (у0)=р0, т. е. множитель Лагранжа l0 (у0) равен рыночной цене р0 единицы выпускаемой продукции. Таким образом, предло­жена естественная экономическая интерпретация множителя Лаг­ранжа l0 (у0).

Подставив х10(у) и х20 в выражение С(х1,х2) = p1x1+ p2x2, полу­чим выражение для издержек

p1 х10(y) + p2 х20(y) = С(у)

как функцию объема выпускаемой продукции, а не как функ­цию

С(х1,х2) = p1x1+ p2x2 объемов затрачиваемых ресурсов. Выражение С(у) = p1 х10(y) + p2 х20(y) называетсязначением задачи (16), (17). Так построенная функция издержек С(у) соответ­ствует случаю долговременного промежутка. Имея выражение С(у), выпишем в явном виде представление прибыли в виде функции объемов у выпускаемой продукции:

PR(у)= p0y - С(у)

Выражение PR(y) = p0y - С(у) играет важную роль в микроэкономике.

Пусть (х10(C) , х20(C)) и у = h(C) есть решение и значение задачи максимизации (7), (11) (см. раздел 11.4).

Пусть (х10(y) , х20(y)) и С=С(у) есть решение и значение задачи минимизации (16), (17) (см. Рис. 19).

Пусть значение С в (12) равно значению С(у) задачи минимиза­ции (16), (17). Тогда значение задачи максимизации (7), (11) будет равно у.

Наоборот, пусть значение у в (17) равно значению у = h(C) задачи максимизации (7), (11). Тогда значение задачи минимизации (16), (17) равно С.

 

 

 

Рис. 19. Геометрическое решение задачи 16-17

Таким образом, наблюдается взаимная зависимость задач (7), (11) и (16), (17) (см. Рис. 19).

Задача минимизации издержек производства прификсированном объеме у выпускаемой продукции для случая краткосрочного проме­жутка, когда фиксирован объем y* второго ресурса, имеет вид (у играет роль параметра)

p1 х1 + p2 х2# = С(х1 , х2# ) (min) (19)

при условии, что

y=f (х1 , х2) (20),

(х1³0)

Ограничимся наглядным геометрическим решением задачи (19), (20) (см. Рис. 20). Имеет место важный результат теории фирмы: при одном том же объеме у выпускаемой продукции издержки производства для случаядолговременного промежутка меньше (точ­нее не больше) издержек производства для случая краткосрочногопромежутка. Эти издержки производства равны друг другу, если объем у производства будет таким, что х10(y*) = х2# (Рис. 21).

Рис. 20. Геометрическое решение задачи 19-20

 

Рис. 21. Геометрическое решение будет таким, что х10(y*) = х2# при объеме производства y