| f(x) + g(x) | > | f(x) | − | g(x) | > N + M − M = N,

что и требовалось доказать.

Сравнение бесконечно малых функций

  Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x0 и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х0 (за исключением, быть может, самой точки х0). Если 

 = 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).
  Если 

 = А ≠ 0 ( A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).
   Если 

 = ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).
   Если 

 = 1,

то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).
  В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если 

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).
  Теорема. Для того, чтобы две функции f = f (x) и g = g (x), f (x) ≠ 0, g (x) ≠ 0, были эквивалентными при х → х0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий 

f - g = o(f ) или f - g = o(g).

  Доказательство необходимости. Пусть 

,

тогда

,

откуда

,

то есть g − f = o(g). Аналогично из условия 

доказывается g − f = o(f )
   Доказательство достаточности провести самостоятельно.

Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела

Под знаком предела

числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.
  Доказательство. Пусть в точке х = х0 имеем f (x) ~ α(x). В этом случае 

,

что и требовалось доказать. 
  Доказанная теорема во многих случаях упрощает вычисление пределов.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

1. Так как , то в точке х = 0 имеем sin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство sin x = x + o(x).
2. Так как , то в точке х = 0 имеем tg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство tg x = x + o(x).
3. Так как , то в точке х = 0 имеем arcsin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arcsin x = x + o(x).
4. Так как , то в точке х = 0 имеем arctg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arctg x = x + o(x).
5. Так как 

   ,

   то

   ,

   и в этом случае имеет место равенство 

   

6. В точке х = 0 многочлен эквивалентен своему моному младшей степени

   .

   Поэтому при х = 0 имеем .
      Использование теоремы о замене функции на эквивалентную под знаком предела упрощает вычисление предела. Например, 

   .

7. Так как 

   ,

   то

   ln (1 + x) ~ x,

   и в этом случае имеет место равенство

   ln (1 + x) = x + o(x).

8. Так как 

   ,

   то

    
   .

9. Так как 

   ,

   то

   ex ~ 1 + x,

   и в этом случае имеет место равенство 

   ex ~ 1 + x + o(x).

10. В случае натурального k имеем 

    

    поэтому для натурального k имеем , и в этом случае имеет место равенство

    (1 + x)k = 1 + k·x + o(x)

11. Так как 

    ,

    то

    ax ~ 1 + x·ln a,

    и в этом случае имеет место равенство 

    ax ~ 1 + x·ln a + o(x)

12. Так как 

    ,

    то

    ,

    и в этом случае имеет место равенство 

    

      Замечание. К применению таблицы эквивалентности при вычислении пределов следует относиться с большим вниманием. Не следует думать, что этот метод является всеобъемлющим. Если применение таблицы эквивалентных бесконечно малых приводит к конечному результату при вычислении предела, то этот результат будет получаться и при любых методах вычисления этого предела. Следует познакомиться с образцами выполнения самостоятельной работы. Однако, в некоторых случаях этот метод не выводит предел из неопределённости, вопрос о значении предела остаётся открытым и посему следует уже применять другие методы вычисления предела. Например

    

Сравнение бесконечно больших функций

  Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Бесконечно большие функции α(x) и β(x) являются эквивалентными бесконечно большими при x → х0, если 

 = 1,

          Функция α(x) является бесконечно большой более низкого порядка, чем β(x) при x → х0, если

 = 0.

          Бесконечно большие Функции α(x) и β(x) имеют одинаковый порядок роста при x → х0, если

 = А ≠ 0 (A- число).

  Функция α(x) является бесконечно большой n − го порядка по отношению к бесконечно большой β(x) при x → х0, если 

.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение бесконечно малой функции